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[!definition] Définition Soit X une variable aléatoire réelle positive définie sur (\Omega, \mathcal{A}, \mathbb{P}) On appelle espérence de $X$ : \displaystyle \mathbb{E}(X) = \int_{\Omega} X \, d\mathbb{P} = \int_{\Omega} X(\omega) \, d\mathbb{P}(\omega) \in [0, +\infty] L'intégrale de lebesgue de X pour la mesure de probabilité \mathbb{P} sur l'univers \Omega

• i si A \in \mathcal{A} alors \mathbb{E}(\mathbb{1}_{A}) = \mathbb{P}(A) ^definition

[!definition] Définition - admettre une espérance Soit X une variable aléatoire réelle définie sur (\Omega, \mathcal{A}, \mathbb{P}) On dit que X admet une espérance si \mathbb{E}(|X|) < +\infty Dans ce cas, l'expérance de X est : \displaystyle\mathbb{E}(X) = \int_{\Omega} X \, d\mathbb{P}

[!info] Notations \begin{align} \mathcal{L}^{1} &= \mathcal{L}^{1}(\Omega, \mathcal{A}, \mathbb{P}) \\&= \{ X \text{ v.a.r.} \mid \mathbb{E}(X) < +\infty \} \end{align}

Propriétés

[!proposition]+ Linéarité de l'espérance Soient X, Y \in \mathcal{L}^{1} et a, b \in \mathbb{R} Alors : aX + bY \in \mathcal{L}^{1} et : \mathbb{E}(aX + bY) = a\mathbb{E}(X) + b \mathbb{E}(Y)

[!démonstration]- Démonstration cela est évident par les propriétés de l'intégrale de lebesgue ^linearite

[!proposition]+ Soient X, Y \in \mathcal{L}^{1} avec X \leq Y alors \mathbb{E}(X) \leq \mathbb{E}(Y)

[!démonstration]- Démonstration cela est évident par les propriétés de l'intégrale de lebesgue

[!proposition]+ Soit X \in \mathcal{L}^{1} alors |\mathbb{E}(X)| \leq \mathbb{E}(|X|)

[!démonstration]- Démonstration cela est évident par les propriétés de l'intégrale de lebesgue

[!proposition]+ Espérance d'une moyenne Soient X_1, X_{2}, \dots des v.a.r. indépendantes toutes de même loi dans L^{1} On pose \overline{X_{n}} = \frac{1}{n} \sum\limits_{i = 1}^{n} X_{i} Alors : \boxed{\mathbb{E}(\overline{X_{n}}) = \mathbb{E}(X_1)}

[!démonstration]- Démonstration \begin{align} \mathbb{E}(\overline{X_{n}}) &= \frac{1}{n} \sum\limits_{i = 1}^{n} \underbrace{\mathbb{E}(X_{i})}_{\substack{=\mathbb{E}(X_1)\\\text{ car même loi}}} & \text{ par linéarité de } \mathbb{E} \\&= \frac{1}{n} \cdot n \mathbb{E}(X_1) \\&= \mathbb{E}(X_1)\end{align}

[!proposition]+ Espérance d'événements indépendants Si X, Y \in L^{1} sont événements indépendants Alors XY \in L^{1} et : \mathbb{E}(XY) = \mathbb{E}(X) \mathbb{E}(Y)

• ! la réciproque n'est pas vraie (on peut avoir cette égalité sans que X et Y soient indépendantes)

[!démonstration]- Démonstration Soit X, Y \in L^{1} On a \mathbb{E}(|XY|) = \int_{\mathbb{R}^{2}} \, d\mathbb{P}_{(X, Y)}(x, y) par le théorème de transfert Comme X et Y sont idépendantes on a : \mathbb{P}_{(X, Y)} = \mathbb{P}_{X} \otimes \mathbb{P}_{Y} (par fubini positif) Donc : \begin{align} \mathbb{E}(|XY|) &= \int_{\mathbb{R}} |x| \, d\mathbb{P}_{X}(x) \int_{\mathbb{R}} |y| \, d\mathbb{P}_{Y}(y) \\&= \underbrace{\mathbb{E}(|X|)}_{<+\infty \text{ car } X \in L^{1}} \cdot \underbrace{\mathbb{E}(|Y|)}_{< +\infty \text{ car } Y \in L^{1}} < +\infty \end{align} D'où suit que XY \in L^1 En appliquant Fubini général on obtient : \begin{align} \mathbb{E}(XY) &= \int_{\mathbb{R}^{2}} xy \, d\mathbb{P}_{X} \otimes \mathbb{P}_{Y}(x, y) \\&= \int_{\mathbb{R}} x \, d\mathbb{P}_{X}(x) \int_{\mathbb{R}} y \, d\mathbb{P}_{Y}(y) \\&= \mathbb{E}(X)\mathbb{E}(Y) \end{align}

^esperance-evenements-indepdants

Corollaires du théorème de transfert

!théorème de transfert#^corollaire-var-discrete

!théorème de transfert#^corollaire-var-a-densite

Exemples