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up:: espace vectoriel des applications linéaires, application linéaire continue #s/maths/algèbre #s/maths/topologie

[!definition] ensemble des applications linéaires continues Soient E et F deux espace vectoriel On note \mathcal{L}_{C}(E, F) ou \mathscr{L}(E, F) l'ensemble des applications linéaires continues de E \to F ^definition

Propriétés

[!proposition]+ sous-espace vectoriel de \mathcal{L} Soient E et F deux espace vectoriel avec E \neq \{ 0 \} \mathscr{L}(E, F) est un sous espace vectoriel de \mathcal{L}(E, F) (l'espace vectoriel des applications linéaires de E \to F) Et |\!|\!|\cdot|\!|\!|, la norme triple, est une norme sur \mathscr{L}(E, F)

• ! On doit bien avoir E \neq \{ 0 \}, sinon |\!|\!|f|\!|\!| = \sup\limits_{\substack{x \in E\\x \neq 0}} \frac{\|f(x)\|_{F}}{\|x\|_{E}} = +\infty

[!démonstration]- Démonstration : \mathscr{L}(E, F) est un sev

• élément nul Si f est l'application nulle : f: x \mapsto 0_{F} Alors \|f(x)\| = 0 \leq 0 \|x\| Donc f est continue : f \in \mathscr{L}(E, F)
• Stabilité par combinaison linéaire Si f, g \in \mathscr{L}(E, F) et si \lambda \in \mathbb{R} On a \forall x \in E : \|f(x)\|_{F} \leq |\!|\!|f|\!|\!|\cdot \|x\|_{E} \|g(x)\|_{F} \leq |\!|\!|g|\!|\!|\cdot \|x\|_{E} Donc : \begin{align} \|(\lambda f+g)(x)\|_{F} &= \|\lambda f(x) + g(x)\|_{F} \\ &\leq |\lambda|\|f(x)\|_{F} + \|g(x)\|_{F} \\&\leq (\underbrace{|\lambda|\cdot |\!|\!|f|\!|\!| + |\!|\!|g|\!|\!| }_{C}) \|x\|_{E} \end{align} c'est-à-dire \forall x \in E,\quad \|(\lambda f+g)(x)\|_{F} \leq C \|x\|_{E} Donc, \lambda f+g \in \mathscr{L}(E, F)

[!démonstration]- Démonstration : |\!|\!||\!|\!| est une norme sur \mathscr{L}(E, F)

• \forall f \in \mathscr{L}(E, F),\quad |\!|\!|f|\!|\!| \geq 0 et |\!|\!|f|\!|\!| = 0 \iff f = 0_{E \to F} :
  • \displaystyle|\!|\!|f|\!|\!| = \sup_{x \neq 0_{E}} \frac{\|f(x)\|_{F}}{\|x\|_{F}}\geq 0 (car c'est un sup de nombres \geq 0)
  • si f = 0_{E \to F}, alors \|f(x)\|
  • \vdots
• si f \in \mathscr{L}(E, F) et \lambda \in \mathbb{R}, alors |\!|\!|\lambda f|\!|\!| = |\lambda| \cdot |\!|\!|f|\!|\!| en effet, on a : \begin{align} |\!|\!|\lambda f|\!|\!| &= \sup_{x \neq 0_{E}} \frac{\|(\lambda f)(x)\|_{F}}{\|x\|_{E}} = \sup_{x \neq 0_{E}} \frac{\|\lambda f(x)\|_{F}}{\|x\|_{E}} \\&= \sup_{x \neq 0_{E}} \left( |\lambda| \frac{\|f(x)\|_{F}}{\|x\|_{E}} \right) \\&= |\lambda| \sup_{x \neq 0_{E}} \frac{\|f(x)\|_{F}}{\|x\|_{E}} \\&= |\lambda| \cdot |\!|\!|f|\!|\!| \end{align}
• si f, g \in \mathscr{L}(E, F), alors \|f+g\| \leq \|f\| + \|g\| on a \forall x \in E \setminus \{ 0 \} : \begin{align} \frac{\|(f+g)(x)\|_{F}}{\|x\|_{E}} &= \frac{\|f(x)+g(x)\|_{F}}{\|x\|_{E}} \\&\leq \frac{\|f(x)\|_{F} + \|g(x)\|_{F}}{\|x\|_{E}} \\&\leq \frac{\|f(x)\|_{F}}{\|x\|_{E}} + \frac{\|g(x)\|_{F}}{\|x\|_{E}} \end{align} et donc : \frac{\|(f+g)(x)\|_{F}}{\|x\|_{E}} \leq |\!|\!|f|\!|\!| + |\!|\!|g|\!|\!| En passant au \sup :

|\!|\!|f+g|\!|\!| = \sup \frac{\|(f+g)(x)\|_{F}}{\|x\|_{E}} \leq |\!|\!|f|\!|\!| + |\!|\!|g|\!|\!|

Exemples