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up:: [[distance]]
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#s/maths/algèbre
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> [!definition] valuation $p$-adique
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> On définit la valuation $p$-adique d'un entier $n \in \mathbb{Z}$ comme étant le nombre maximal de fois que $n$ est divisible par $p$.
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> $\nu_{p}(n) = \max \{ h \in \mathbb{N} : p^{k} \mid n \}$
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> > [!example] Exemples
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> > - $\nu_{10}(0) = +\infty$
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> > - $\nu _{10}(123749) = 0$
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> > - $\nu _{10}(592000)=3$
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> [!definition] norme et distance $p$-adique
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> On définit la norme $p$-adique par :
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> $\displaystyle |n|_{p} = n^{-\nu _{p}(n)}$
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> Alors, la distance $p$-adique est définie par :
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> $d_{p}(n, m) = |n - m|_{p}$
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> [!démonstration] $d_{p}$ est une distance sur $\mathbb{Z}$
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> - si $n \in \mathbb{Z}$, alors $d_{p}(n, n) = 0$
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> en effet, $d(n, n) = |n - n|_{p} = |0|_{p} = 0^{-\nu _{p}(0)} = 0^{-\infty} = 0$
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> - soient $(m, n) \in \mathbb{Z}^{2}$, si $m \neq n$, alors $m - n \neq 0$, donc $\nu _{p}(m-n) < \infty$ et $d_{m, n} = p^{\nu _{p}(m-n)} > 0$
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> - symétrie :
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> soient $m, n \in \mathbb{Z}$ avec $m \neq n$
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> $\nu _{p}(m - n) = \max \{ k : p^{k}|(m - n) \}$
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> Or, $p^{k} | (m-n) \iff p^{k}|(n-m)$
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> donc $\nu _{p}(m -n) = \nu _{p}(n-m)$
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> et : $d_{p}(m, n) = p^{-\nu(m, n)} = p^{-\nu(n, m)} = d_{p}(n, m)$
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> si $m = n$, la symétrie est évidente
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> Donc $d_{p}$ est bien symétrique
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> - inégalité triangulaire :
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> $\forall l, m, n \in \mathbb{Z}$
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> on veut montrer que $d(l, n) \leq d(l, m) + d(m, n)$
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> L'inégalité est évidente si $l = n$, $l=m$ ou $m=n$. On peut donc supposer $l$, $m$ et $n$ deux-à-deux distincts.
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> si $k \leq \min\{ \nu _{p} (l-m), \nu _{p}(m - n) \}$
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> alors on a : $p^{k} | (l-m) \wedge p^{k}|(m-n)$
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> donc $p^k| ((l-m)+(m-n))$ et $p^{k}|(l-n)$
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> donc $k \leq \nu _{p}(l-n)$
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> Si on choisit $k = \min\{ \nu _{p} (l-m), \nu _{p}(m - n) \}$
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> on a $\nu _{p}(l-n) \geq k= \min\{ \nu _{p} (l-n), \nu _{p}(m-n) \}$
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> Comme $x \mapsto p^{-x}$ est décroissante, on sait que :
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> $p^{-\nu _{p}(l-n) } \leq k$
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> soit ${} d_{p}(l, n) \leq {}$ |