[!definition] Définition
Soit f : \Omega \subset \mathbb{R}^{n} \to F avec \Omega partie ouverte d'un espace métrique
Soit x \in \Omega
Pour i \in [\![1; n]\!] on définit au voisinage de x_{i} la fonction
g_{i}(t) = f(x_1, \dots, x_{i-1}, t, x_{i+1}, \dots, x_{n}) \in F (la curryfication du $i$ème paramètre)
On dit alors que f admet une dérivée partielle en x par rapport à sa $i$ème coordonnée si g_{i} admet une dérivée en x_{i}, c'est-à-dire si :
\lim\limits_{ h \to 0 } \dfrac{g_{i}(x + h) - g_{i}(x)}{h} \in F existe
^definition
[!proposition]+ équivalence entre dérivée partielle et dérivée directionnelle
Soit la fonction f : \Omega \subset \mathbb{R}^{n} \to F
Soit (e_1, e_2, \dots, e_{n}) la base canonique d'un espace vectoriel de \mathbb{R}^{n}
on a équivalence entre :
f admet une dérivée partielle par rapport à la $i$ème coordonnée en xf admet en x une dérivée directionnelle dans la direction e_{i}
Et on a alors :
\dfrac{ \partial f }{ \partial x_{i} }(x) = D_{e_{i}}f(x)
[!démonstration]- Démonstration
C'est immédiat :
\frac{1}{t}(g_{i}(x_{i} + t) - g(x_{i})) = \frac{1}{t}(f(x+t e_{i}) - f(x))
