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up::somme des carrés title::"démonstration de $\sum\limits_{k=1}^{n}k^{2} = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$" #s/maths #t/démonstration
Initialisation
On définit la propriété \mathscr{P}
\mathscr{P}_{n} : \sum\limits_{k=1}^{n}k^{2} = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}
\begin{align}\mathscr{P}_{1} :& 1^{2} = \frac{1 \times 2 \times 3}{6}\\ &1 = 1\end{align}
Donc, \mathscr{P}_{1} est vraie et \mathscr{P} est initialisée.
Hérédité
On cherche à montrer que \forall n \in \mathbb{N}^{*}, \mathscr{P}_{n} \implies \mathscr{P}_{n+1}
Pour cela, on suppose \mathscr{P}_{n} vraie pour un n fixé.
On cherche alors à montrer \mathscr{P}_{n+1}.
$$ \begin{align} \mathscr{P}{n} &\iff \sum\limits{k=1}^{n}k^{2} = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \ &\iff \sum\limits_{k=1}^{n+1}k^{2} = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + (n+1)^{2} \ &\iff \sum\limits_{k=1}^{n+1}k^{2} = \frac{n(n+1)(2n+1)+6(n+1)^{2}}{6} \ &\iff \sum\limits_{k=1}^{n+1}k^{2} = \frac{(n+1) \left( n(2n+1)+6(n+1) \right)}{6} \ &\iff \sum\limits_{k=1}^{n+1}k^{2} = \frac{(N)(2n^{2}+7n+6)}{6} \ &\iff \sum\limits_{k=1}^{n} k^{2} = \end{align}$$