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up::fonction négligeable devant une autre #s/maths/analyse #t/démonstration
Démonstration de f = o_{+\infty}(g) \iff \forall \varepsilon > 0, \forall b \in \, \forall x \in X, x \geq b \implies |f(x)| \leq \varepsilon|g(x)|
Supposons que f = o_{+\infty}(g)
Donc f = hg avec \lim\limits_{+\infty}h = 0
Soit \varepsilon > 0 il existe b \in \mathbb{R} tel que x > b \implies |h(x)| < \varepsilon
On suppose la propriété, on définit h par :
h(x) = \left\{\begin{lgathered} \frac{f(x)}{g(x)} \text{ si } g(x) \neq 0 \\ 0 \text{ si } g(x) = 0\end{lgathered}\right.
Si g(x) \neq 0 on a f(x) = h(x)g(x)
Pour \varepsilon = 1, il existe b \in \mathbb{R} tel que si x \geq b, |f(x)| \leq |g(x)|
Donc si g(x) = 0, f(x) = 0
Donc f = hg est vérifiée
Soit \varepsilon > 0, il existe b \in \mathbb{R} tel que x \geq b \implies |f(x)| \leq \varepsilon|g(x)|
Si x \neq b et g(x) \neq 0, |h(x)| = \frac{|f(x)|}{|g(x)|} \leq \varepsilon
et si g(x) = 0, |h(x)| = 0 \leq \varepsilon
Donc \lim\limits_{+\infty}h = 0 et f = o_{+\infty}(g)