cours/démonstration expression de l'arg cosinus hyperbolique.md

up::fonction cosinus hyperbolique sibling::démonstration de l'expression de l'arg sinus hyperbolique description::"démonstration de $\arg \mathrm{ch}(x)=\ln\left(x + \sqrt{x^{2}-1}\right)$" #s/maths/trigonométrie #t/démonstration

$$\begin{align*} \mathrm{ch}(x) = y &\iff \frac{e^{x}+e^{-x}}{2} = y\ &\iff e^{x}+e^{-x} = 2y \qquad y \text{ doit être } \geq 1\ &\text{ si } y \geq 0 , \text{ avec } x \geq 0 \text{ (car } \mathrm{ch} \text{est paire})\ &\iff e^{x} + e^{-x} = 2 y\ &\iff e^{x} + \frac{1}{e^{x}} = 2y\ &\iff e^{2x} + 1 = 2e^{x}y\ &\iff (e^{x})^{2} - 2y(e^{x}) + 1 = 0\ &\qquad \Delta = 4y^{2} - 4\ &\qquad \qquad \text{puisque } y \geq 1, \Delta \geq 0\ &\qquad \text{deux solutions, éventuellement identiques} :\ &s_{1} = \frac{2y - \sqrt{4y^{2}-4}}{2} = y-\sqrt{y^{2}-1}\ &s_{2} = y + \sqrt{y^{2}-1}\ &\text{donc on a :}\ &\iff \left{\begin{lgathered} e^{x} = s_{1}\\text{ou}\ e^{x} = s_{2} \end{lgathered}\right.\ &\text{on sait que } x \geq 0 \text{ donc } e^{x} \geq 1\ &\text{Or, quand } y > 1 :\ &\qquad s_{2}>1\ &\qquad s_{1} \text{n'est pas toujours } > 1\ &\iff e^{x} = s_{2}\ &e^{x} = y + \sqrt{y^{2} - 1}\ &x = \ln(y+\sqrt{y^{2}-1})\ & \end{align*}$$