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On veut démontrer : !théorème de convergence dominée#^theoreme

1 - hypothèses vraies partout

On suppose que les hypothèses 1. et 2. sont vraies partout (et pas seulement $\mu$-presque partout). On pose alors g_{n} = 2g - |f_{n} - f| pour n \in \mathbb{N} (g_{n}) est mesurable et positive car |f_{n} - f| \leq |f_{n}| + |f| \leq g+g On peut donc appliquer le lemme de Fatou à la suite (g_{n}). On obtient alors : \displaystyle \int_{E} \liminf\limits_{ n \to \infty } (g_{n}) \, d\mu \leq \liminf\limits_{ n \to \infty } \int_{E} g_{n} \, d\mu On étudie ensuite les deux membres de cette inégalité. Pour le membre de gauche : $$\begin{align} \int_{E} \liminf\limits_{ n \to \infty } g_{n} , d\mu &= \int_{E} \liminf\limits_{ n \to \infty } 2g - |f_{n}-f| , d\mu \ &= \int_{E} 2g - \limsup\limits_{ n \to \infty } |f_{n}-f| , d\mu \ &= \int_{E} 2g - \lim\limits_{ n \to \infty } |f_{n} - f| , d\mu & \text{car } (f_{n}) \text{ converge}\ &= \int_{E} 2g - 0 , d\mu \ &= \int_{E} 2g , d\mu \end{align}$$ Pour le membre de droite : $$\begin{align} \liminf\limits_{ n \to \infty } \int_{E} g_{n} , d\mu &= \liminf\limits_{ n \to \infty } \int_{E} 2g - |f_{n}-f| , d\mu \ &= \int_{E} 2g , d\mu - \limsup\limits_{ n \to \infty } \int_{E} |f_{n}-f| , d\mu \end{align}$$ On obtient donc : \displaystyle \int_{E} 2g \, d\mu \leq \int_{E} 2g \, d\mu - \limsup\limits_{ n \to \infty } \int_{E} |f_{n}-f| \, d\mu Et donc : \displaystyle 0 \leq -\limsup\limits_{ n \to \infty }\int_{E} |f_{n}-f| \, d\mu de là suit que \displaystyle 0\leq \limsup\limits_{ n \to \infty } \int_{E} |f_{n}-f| \, d\mu \leq 0 c'est-à-dire que : \displaystyle \limsup\limits_{ n \to \infty }\int_{E} |f_{n} - f| \, d\mu = 0

On a, en particulier : \displaystyle \left| \int_{E} f_{n} \, d\mu - \int_{E} f \, d\mu \right| = \left| \int_{E} (f_{n} - f) \, d\mu \right| \leq \underbrace{\int_{E} |f_{n} - f| \, d\mu}_{=0} Donc \displaystyle\int_{E} f_{n} \, d\mu converge bien vers \int_{E} f \, d\mu.

On a donc démontré le théorème en supposant 1. et 2., c'est à dire en supposant que :

• f_{n} \xrightarrow{n \to \infty} f partout
• g existe g intégrable positive telle que \forall n \in \mathbb{N},\quad |f_{n}| \leq g

2 - Hypothèses vraies presque partout

• Soit N \in \mathcal{A},\quad \forall x \in E \setminus N,\quad f_{n}(x) \xrightarrow{n \to \infty} f(x) avec \mu(N) = 0
  • un tel N existe, puisque d'après l'hypothèse 1. on a f_{n} \to f $\mu$-presque partout
• Pour tout n \in \mathbb{N},\quad |f_{n}| \leq g $\mu$-presque partout. Il existe donc N_{n} \in \mathcal{A} tel que \mu(N_{n}) = 0 et \forall x \in E\setminus N_{n},\quad |f_{n}(x)| \leq g(x)
• Posons \displaystyle M = N \cup \left( \bigcup _{n \in \mathbb{N}} N_{n} \right). Par construction, pour tout x \in E \setminus M, on a f_{n}(x) \xrightarrow{n \to \infty} f(x) et \forall n \in \mathbb{N},\quad |f_{n}(x)| \leq g(x)
• Posons h_{n} = f_{n}\mathbb{1}_{M^{\complement}} et h = f\mathbb{1}_{M^{\complement}}
  • On a alors sur E, h_{n} \xrightarrow{n \to \infty} h et |h_{n}| \leq g

On peut appliquer l'hypothèse 1. à (h_{n}) et on obtient : \displaystyle \int_{E} |h_{n} - h| \, d\mu \xrightarrow{ n \to \infty} 0

Or \mu(M) \leq \mu(N) + \sum\limits_{n \in \mathbb{N}} \mu(N_{n}) = 0 donc |h_{n} - h| = |f_{n} - f| $\mu$-presque partout et ainsi \displaystyle \int_{E} |h_{n}-h| \, d\mu = \int_{E} |f_{n}-f| \, d\mu