14 lines
546 B
Markdown
14 lines
546 B
Markdown
up:: [[normes équivalentes]], [[norme p]]
|
|
#s/maths/algèbre
|
|
|
|
Soit $x \in \mathbb{R}^{n}$ quelconque
|
|
|
|
$\displaystyle \|x\|_{\infty } = \max_{i = 1}^{n} |x_{i}| \leq |x_1|+\dots+|x_{n}|$
|
|
donc $\|x\|_{\infty } \leq \|x\|_{1}$
|
|
|
|
A l'inverse :
|
|
$\|x\|_{1} = \underbrace{|x_1| + |x_2|+ \cdots + |x_{n}|}_{\substack{\text{tous les termes sont}\\ \leq \max\limits_{i=1}^{n}(|x_{i}|) = \|x\|_{\infty}}}$
|
|
Donc, $\frac{1}{n}\|x\|_{1} \leq \|x\|_{\infty}$
|
|
|
|
On a donc bien équivalence entre la [[norme p|norme 1]] et la [[norme infini]] sur $\mathbb{R}^{n}$
|