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up::nombre complexe #s/maths/analyse/complexes
On utilise des matrice pour définir les nombres complexes.
On note \text{Im} = \left( \begin{array}{cc}0&-1\\1&0\end{array} \right)
On a \text{Id} = \left(\begin{array}{cc}1&0\\0&1\end{array}\right) la matrice identité.
\text{Im}^2 = \left( \begin{array}{cc}0&-1\\1&0\end{array} \right)\left( \begin{array}{cc}0&-1\\1&0\end{array} \right) = \left( \begin{array}{cc}-1&0\\0&-1\end{array} \right) = -\text{Id}
Il existe donc une matrice dont le carré est -\text{Id}. Si on travaille avec des matrices de la forme :
\left( \begin{array}{cc}a&-b\\b&a\end{array} \right) avec (a, b)\in\mathbb R^2
Alors toute matrice A s'écrit :
\begin{aligned} \left( \begin{array}{cc}a&-b\\b&a\end{array} \right) &= \left( \begin{array}{cc}a&0\\0&a\end{array} \right) +\left( \begin{array}{cc}0&-b\\b&0\end{array} \right) \\[.5em] &= a\left( \begin{array}{cc}1&0\\0&1\end{array} \right) + b \left( \begin{array}{cc}0&-1\\1&0\end{array} \right) \\[.5em] &= a\text{Id} + b\text{Im} \end{aligned}
On peut alors construire une bijection avec \mathbb C, et même un isomorphisme de groupes. Cela permet de construire \mathbb C.