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share_updated: 2025-04-03T16:27:33+02:00
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up:: [[base d'un espace vectoriel]]
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#s/maths/algèbre
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Soient $E$ et $F$ des $\mathbf{K}$-[[espace vectoriel|ev]]
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- Soient $B_0$ et $B'_{0}$ des bases de $E$
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- Soient $B_1$ et $B'_{1}$ des bases de $F$
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Soit $f$ une [[application linéaire]] de $E \to F$
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- Soit $A$ la matrice de $f$ dans $B_0$ vers $B_1$
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- Soit $B$ la matrice de $f$ dans $B'_{0}$ vers $B'_{1}$
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Soient $P$ et $Q$ des matrices de changement de base
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- $P$ change de $B_0$ vers $B'_{0}$ (elle transforme un vecteur de $B'_{0}$ en un vecteur de $B_0$)
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- $Q$ change de $B_{1}$ vers $B'_{1}$
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Pour tout vecteur $X \in E$, avec $Y = f(X) = AX$ avec $X$ dans $B_0$ et $Y$ dans $B_1$
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Pour tout vecteur $X' \in F$ avec $Y' = f(X') = BX'$ avec $X'$ dans $B'_{0}$ et $Y'$ dans $B'_{1}$
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![[changement de base 2022-11-04 15.41.02.excalidraw|100%]]
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## Matrice de passage
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Une matrice de changement de base (ou matrice de passage) est la matrice $P$ formée des vecteurs de la base d'arrivée en colonne.
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Alors, $P^{-1}$ correspond à l'[[application linéaire]] qui passe d'un vecteur dans la base de départ à un vecteur dans la base d'arrivée.
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> [!example] Exemple
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> Changement de la base $B = \{ (0, 1); (1, 0) \}$ vers $B' = \{ (\pi; \phi); (42; 73) \}$
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> La matrice de passage $P$ de $B_0$ vers $B_1$ est :
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> $P = \begin{pmatrix} \pi & 42\\ \phi & 73\end{pmatrix}$, c'est-à-dire les vecteurs de $B'$ en colonne
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> Alors, soit $X$ un vecteur exprimé dans $B$, et soit $X'$ le même vecteur exprimé dans $B'$, on a :
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> $X = PX'$ ou bien $X' = P^{-1}X$
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> - [!] le sens est inversé
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## Changement de base d'une application linéaire
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Soit $f$ une [[application linéaire]]
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$f$ a pour matrice $A$ dans la base $B_0$ vers $B_1$
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$f$ a pour matrice $B$ dans la base $B'_{0}$ vers $B'_{1}$
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On cherche a faire un changement de base de l'application, c'est-à-dire exprimer $A$ en fonction de $B$ ou inversement.
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On voit ci-dessous qu'appliquer $A$ correspond à appliquer $P ^{-1}$, puis $B$, puis $Q$
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> [!definition]- Démonstration
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> On a les égalités suivantes
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> - $Y = AX$
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> - $Y = QY'$
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> - $X = PX'$
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> Alors :
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> $$\begin{align}
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> Y = AX &\iff Y = APX' && \text{car } X = PX'\\
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> &\iff QY' = APX' && \text{car } Y = QY' \\
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> &\iff QBX' = APX' && \text{car } Y' = BX' \text{ (par définition)} \\
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> &\iff QB = AP && \text{car c'est vrai pour tout } X' \\
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> &\iff A = QBP ^{-1} \\
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> &\iff B = Q ^{-1} A P
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> \end{align}$$
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> [!idea] Cas d'un [[endomorphisme d'espaces vectoriels]]
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> Si $f$ est un [[endomorphisme d'espaces vectoriels]], c'est-à-dire que $E = F$ ($f$ est sur $E \to E$)
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> Alors, on a $Q = P$. Le changement de base est donc simplififié :
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> $A = P B P ^{-1}$ et $B = P ^{-1} A P$
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> - [i] **Mnémo :** ancien passage nouveau (puis passage inverse)
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![[changement de base 2022-11-04 15.41.02.excalidraw|900]]
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