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#s/maths/ensembles
Le cardinal d'un ensemble est le nombre d'éléments de cet ensemble.
Soit E un ensemble, on note \text{card}(E) ou |E| le cardinal de E.
Définition
Cardinal d'un ensemble fini
Un ensemble E est dit fini s'il est vide, ou s'il existe un entier naturel n\neq0 et une suite finie (x_1,\ldots,x_n) d'éléments de E dans laquelle chaque élément de E apparaît exactement une fois.
Autrement dit, un ensemble non vide est fini s'il est en bijection avec un intervalle d'entiers [\![1;n]\!].
Dans ce cas, on dira que l'ensemble est de cardinal n.
Propriétés
Soient E et F deux ensembles finis de cardinaux respectifs k et n.
- Si
EetFpeuvent être mises en bijection|E| = |F|. - Tout sous-ensemble de
Eà un cardinal inférieur àkS\subseteq E \implies |S| \leq |E|S\subsetneq E \implies |S| < |E|
|E\setminus A| = |E| - |A||A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|
Cardinal d'un ensemble infini
Cas dénombrable
L'ensemble \mathbb N n'est pas fini. Tout ensemble infini dénombrable est en bijection avec \mathbb N, et a donc le même cardinal.