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alias: [ "base" ]
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up::[[espace vectoriel]]
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title::"[[famille de vecteurs]] [[famille de vecteurs libre|libre]] et [[famille de vecteurs génératrice|génératrice]]"
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#s/maths/algèbre
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> [!definition]
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> Soit $(E, +, \cdot)$ un [[espace vectoriel]] réel, et $\{u_1,\ldots,u_k\}$ une [[famille de vecteurs]] de $E$
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> La famille $\{u_1,\ldots,u_k\}$ est une _base_ lorsqu'elle est simultanément [[famille de vecteurs génératrice|génératrice]] et [[famille de vecteurs libre|libre]].
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^definition
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# Propriétés
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Soit $E$ un espace vectoriel
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Soit $B$ une base de $E$
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- $\mathrm{card}\; G = \dim E$
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Si une famille $\{u_1,\ldots,u_k\}$ est _base_ d'un [[espace vectoriel]] $(E,+,\cdot)$,
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tout vecteur de $E$ se décompose de façon **unique** sous la forme $u = \lambda_1u_1+\cdots+\lambda_ku_k$
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c'est-à-dire comme une [[combinaison linéaire]] des vecteurs de cette base.
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Soit $B=\{u_1,\ldots,u_n\}$ une famille de $n$ vecteurs de $\mathbb{R}^n$, On a l'équivalence suivante :
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- $B$ est une _base_ de $\mathbb{R}^n$ $\iff$ $\det(u_1;\ldots;u_n) \neq 0$
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C'est-à-dire qu'une famille de vecteurs est une _base_ ssi la matrice formée par ses vecteurs (colonne ou ligne) à un [[déterminant d'une matrice|déterminant]] non nul.
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> [!query] Sous-notes de `=this.file.link`
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> ```dataview
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> LIST title
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> FROM -#cours AND -#exercice AND -"daily" AND -#excalidraw AND -#MOC
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> WHERE any(map([up, up.up, up.up.up, up.up.up.up], (x) => econtains(x, this.file.link)))
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> WHERE file != this.file
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> SORT up!=this.file.link, up.up.up.up, up.up.up, up.up, up, file.name
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> ```
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