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up:: espace métrique compact #s/maths/topologie
Application des espace métrique compact#^definitions-alternatives
On va démontrer que si f : X \to \mathbb{R} est continue, avec X compact, on a \inf\limits_{x \in X}f(x)> -\infty et aussi \exists x_0 \in X,\quad f(x_0) = \inf\limits_{x \in X} f(x).
Autrement dit, toute fonction continue à valeurs réelles sur un compact à un infimum réel (fini) et atteint cet infimum (c'est un minimum).
Posons, pour tout y > \inf\limits_{x \in X} f(x) :
F_{y} = f^{-1}(]-\infty; y])
Comme f est continue, on sait que F_{y} est un partie fermée d'un espace métrique de X
et comme y > \inf\limits_{x \in X} f(x) il existe z \in X tel que f(z) \leq y
Donc z \in F_{y} et donc F_{y} \neq \emptyset
On pose I = \left] \inf\limits_{x \in X}f(x); +\infty \right[
Soit J \subset I une partie finie de I
J = \{ y_1, y_2,\dots, y_{n} \}
Supposons y_1 < y_2 < \cdots < y_{n}
Alors on a :
\begin{align} \bigcap _{j \in J} F_{y_{j}} &= F_{y_1} \cap F_{y_2}\cap \cdots \cap F_{y_{n}} \\&= F_{y_{1}}\end{align}
Car F_{y_1} \subset F_{y_2}\subset \cdots \subset F_{y_{n}} donc \displaystyle \bigcap _{y \in J} F_{y} = F_{y_1} \neq \emptyset
Comme (X, d) est compact, le théorème nous dit que \displaystyle \bigcap _{y \in I} F_{y} \neq \emptyset
Autrement dit, si \displaystyle x \in \bigcap _{y \in I} F_{y}, alors on a \forall y \in I,\quad x_{0} \in F_{y}
et donc \forall y \in I,\quad f(x_0) \leq y