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up::[[axiomes Zemerlo Frankel]]
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title::"preuve que $P(0) \wedge \forall n, P(n) \implies P(n+1)$"
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#s/maths #s/maths/logique #t/démonstration
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On cherche à montrer le [[principe de récurrence]] :
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![[principe de récurrence#^definition]]
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Soit $P(x)$ un proposition.
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Supposons que $P(0)$ et que $\forall x, P(x) \implies P(x+1)$
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Soit $F = \{ x\mid P(x) \}$
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$F$ est héréditaire par définition
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Par l'axiome de l'infini, il contient $\mathbb{N}$
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Donc, $P(x)$ est vraie pour tout $x \in \mathbb{N}$
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