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up:: [[bijection]], [[groupe]]
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#s/maths/algèbre
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> [!definition]
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> Soient $E$ et $F$ deux ensembles.
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> On note $\mathrm{Bij}(E, F)$ l'ensemble des [[bijection|bijections]] de $E \to F$.
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> Il forme un [[groupe]] avec la [[composition de fonctions|composition]] $\circ$
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^definition
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# Propriétés
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> [!proposition]+ Groupe des bijections
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> Soit $E$ un ensemble
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> L'ensemble des bijections de $E \to E$, c'est-à-dire $\mathrm{Bij}(E) = \mathrm{Bij(E, E)}$
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> est un [[groupe]] avec la [[composition de fonctions]]
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> $$\boxed{(\mathrm{Bij}(E), \circ) \quad \text{est un groupe}}$$
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> > [!démonstration]- Démonstration
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> > On note $B = \operatorname{Bij}(E)$
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> > - La loi $\circ$ est stable sur $B$
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> > En effet, on sait que la composée de deux [[bijection|bijections]] est aussi une bijection.
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> > - $\mathrm{id}$ est l'élément neutre du groupe des bijections
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> > En effet, $\mathrm{id}$ est une bijection, donc $\mathrm{id} \in B$
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> > $\forall f \in B,\quad \mathrm{id} \circ f = f \circ \mathrm{id} = f$ par définition de $\mathrm{id}$
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> > Donc $\mathrm{id}$ est bien le neutre de $B$
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> > - Tout élément de $B$ possède un inverse par $\circ$ dans $B$
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> > Soit $f \in B$, on sait que $f$ possède toujours une [[application réciproque]], puisque $f$ est une [[bijection]]. Et on sait que cette application réciproque $f^{-1}$ est aussi une bijection, et donc que $f^{-1} \in B$.
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> > Or, on a bien $f \circ f^{-1} = f^{-1} \circ f = \mathrm{id}$ puisque $f$ et $f ^{-1}$ sont des bijections.
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> > Donc, tout élément $f \in B$ possède un inverse $f^{-1} \in B$ pour la loi $\circ$
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> > - La loi $\circ$ est associative sur $B$
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> > Soient $f, g, h \in B$
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> > $\begin{align} \forall e \in E,\quad ((f \circ g) \circ h)(e) &= (f \circ g)(h(e)) \\&= f(g(h(e))) \\&= f((g \circ h)(e)) \\&= (f \circ (g \circ h))(e) \end{align}$
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> > Donc, $(f \circ g) \circ h = f \circ (g \circ h)$
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> > Autrement dit, $\circ$ est associative sur $B$
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> >
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> > De là suit que $(B, \circ) = (\operatorname{Bij}(E), \circ)$ est bien un groupe.
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^groupe-bijections
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# Exemples
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