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[!definition] Définition On note (\mathfrak{S}_{n}, \circ) le groupe des permutations de n\geq 1 éléments. ^definition

Propriétés

[!proposition]+ La signature est un morphisme La fonction \varepsilon qui à une permutation associe sa signature : \varepsilon : \mathfrak{S}_{n} \to \{ -1; 1 \} est un morphisme injection de (\mathfrak{S}_{n}, \circ) \to (\{ -1; 1 \}, \times). Le noyau d'un morphisme de groupes est \mathfrak{A}_{n} le groupe alterné

Exemples

\mathfrak S_2 = \left\{ \begin{pmatrix}1&2\\1&2\end{pmatrix}; \begin{pmatrix}1&2\\2&1\end{pmatrix} \right\}

\mathfrak S_3 = \left\{ \begin{pmatrix}1&2&3\\1&2&3\end{pmatrix}; \begin{pmatrix}1&2&3\\1&3&2\end{pmatrix}; \begin{pmatrix}1&2&3\\2&1&3\end{pmatrix}; \begin{pmatrix}1&2&3\\2&3&1\end{pmatrix}; \begin{pmatrix}1&2&3\\3&1&2\end{pmatrix}; \begin{pmatrix}1&2&3\\3&2&1\end{pmatrix}\right\}