Propriétés

[!proposition]+ Définitions équivalentes Soient A, B \in \mathcal{A} avec \mathbb{P}(A) > 0 et \mathbb{P}(B) > 0 On a équivalence entre les propositions suivantes :

A et B sont indépendants

\mathbb{P}(A \cap B) = \mathbb{P}(A) \mathbb{P}(B)

\mathbb{P}(A \mid B) = \mathbb{P}(A)

\mathbb{P}(B | A) = \mathbb{P}(B)

[!démonstration]- Démonstration \begin{align} \mathbb{P}(A | B) = \mathbb{P}(A) &\iff \frac{\mathbb{P}(A \cap B)}{\mathbb{P}(B)} = \mathbb{P}(A) \\&\iff \mathbb{P}(A \cap B) = \mathbb{P}(A) \mathbb{P}(B) \\&\iff \frac{\mathbb{P}(A \cap B)}{\mathbb{P}(A)} = \mathbb{P}(B) \\&\iff \mathbb{P}(B \mid A) = \mathbb{P}(B) \end{align}

[!proposition]+ Si A et A sont indépendants on a : \mathbb{P}(A) = 0 ou \mathbb{P}(A) = 1

[!démonstration]- Démonstration \begin{align} A \text{ et } A \text{ indépendants} &\iff \mathbb{P}(A \cap A) = \mathbb{P}(A)\mathbb{P}(A) \\&\iff \mathbb{P}(A) = \mathbb{P}(A)^{2} \\&\iff \mathbb{P}(A) = 0 \text{ ou } \mathbb{P}(A) = 1 \end{align}

[!proposition]+ Indépendance du complémentaire Si A et B sont indépendants Alors A et B^{\complement} sont indépendants

[!démonstration]- Démonstration Supposons A et B indépendants, on a alors : \begin{align} \mathbb{P}(\underbrace{A \cap B^{\complement}}_{A \setminus B}) &= \mathbb{P}(A) - \mathbb{P}(A \cap B) \\&= \mathbb{P}(A) - \mathbb{P}(A)\mathbb{P}(B) \\&= \mathbb{P}(A) \left[ 1 - \mathbb{P}(B) \right] \\&= \mathbb{P}(A)\mathbb{P}(B^{\complement}) \end{align}

d'où suit que A et B^{\complement} sont indépendants

[!proposition]+ Indépendance et mesure produit Soit X = (X_1, \dots, X_{d}) un vecteur aléatoire X_1, \dots, X_{d} sont indépendantes si et seulement si : \mathbb{P}_{X} = \mathbb{P}_{X_1} \otimes \cdots \otimes \mathbb{P}_{X_{d}}

Cas des probabilité à densité :

[!info] Notation si f, g : \mathbb{R} \to \mathbb{R} sont deux applications, on note : \begin{align} f \otimes g : \mathbb{R}^{2} &\to \mathbb{R} \\ (x, y) &\mapsto f(x)g(y) \end{align}

[!proposition]+ Si X_1, \dots, X_{d} sont des variables aléatoires indépendantes de densité f_{X_1}, \dots, f_{X_{d}} alors X = (X_1, \dots, X_{d}) admet une densité donnée par f_{X} = f_{X_1} \otimes \cdots \otimes f_{X_{d}}

! La réciproque n'est pas vraie

[!démonstration]- Démonstration Pour d = 2 On suppose X_1, X_2 indépendantes Soit B_1\times B_2 \in \mathcal{B}(\mathbb{R}^{2}) \begin{align} \mathbb{P}(X \in B_1 \times B_2) &= \mathbb{P}(X_1 \in B_1)\mathbb{P}(X_2 \in B_2) & \text{par indépendance} \\&= \int_{B_1} \underbrace{f_{X_1}(x_1)}_{\geq 0} \, dx_1 \int_{B_2} \underbrace{f_{X_3} (x_2)}_{\geq 0} \, dx_2 \\&= \int_{B_1 \times B_2} f_{X_1}(x_1) f_{X_2}(x_2) \, d\lambda_2(x_1, x_2) & \text{par le th. de Fubini positif} \end{align} D'où X admet pour densité : f_{X}(x_1, x_2) = f_{X_1} \otimes f_{X_2}

[!proposition]+ S'il existe des densités de probabilité f_1, \dots, f_{d} tellesq ue X admet pour densité f_{X} = f_1 \otimes \cdots \otimes f_{d} Alors X_1, \dots, X_{d} sont indépendantes, et pour tout i \in [\![1, d]\!] X_{i} a pour densité f_{i}

! Ce n'est pas exactement la réciproque de l'énoncé précédent

[!démonstration]- Démonstration dans le cas d = 2 Si f_{X} = f_1 \otimes f_2 où f_1, f_2 sont des densités de probabilité Soit B_1, B_2 \in \mathcal{B}(\mathbb{R}) \begin{align} \mathbb{P}(X_1 \in B_1 \wedge X_2 \in B_2) &= \mathbb{P}(X \in B_1 \times B_2) \\&= \int_{B_1 \times B_2} \underbrace{f_1(x_1)f_2(x_2)}_{\geq 0} \, d\lambda_2(x_1, x_2) \\&= \int_{B_1}f_1(x_1) \, dx_1 \int_{B_2}f_2(x_2) \, dx_2 & \text{par Fubini positif} \end{align}

Or en prenant B_2 = \mathbb{R} on obtient \mathbb{P}(X_1 \in B_1) = \int_{B_1}f_1(x_1) \, dx_1 et en prenant B_1 = \mathbb{R}, on a \mathbb{P}(X_2 \in B_2) = \int_{B_2} f_2(x_2) \, dx_2 d'où :

X_1 est de densité f_1

X_2 est de densité f_2

X_1 et X_2 sont indépendantes

Exemples

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!événements indépendants 2025-01-20 10.51.31.excalidraw

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