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fonction récursive primitive.md

@@ -7,6 +7,8 @@ aliases:
   - fonctions récursives primitives
   - récursive primitive
 source:
+header-auto-numbering:
+  - state off
 ---
 
 
@@ -223,6 +225,18 @@ On peut trouver de nouveaux schémas de définitions de fonctions qui sont stabl
 > >      - $\sup(x_1, x_2, \dots, x_{p}) = x_{p}$ sinon
 ^schema-par-cas
 
+> [!proposition]+ Récurrences doubles
+> Soient $g, g' \in \mathscr{F}_{p}$ et $h, h' \in \mathscr{F}_{p+3}$ quatre fonctions.
+> A l'aide de ces fonctions, on peut définir simultanément deux nouvelles fonctions $f, f' \in \mathscr{F}_{p+1}$ par les conditions suivantes :
+>  - $f(\overline{x}, 0) = g(\overline{x})$
+>  - $f'(\overline{x}, 0) = g'(\overline{x})$
+>  - $f(\overline{x}, y+1) = h(\overline{x}, y, f(\overline{x}, y), f'(\overline{x}, y))$
+>  - $f'(\overline{x}, y+1) = h'(\overline{x}, y, f(\overline{x}, y), f'(\overline{x}, y))$
+> Et ces fonctions $f$ et $f'$ sont récursives primitives dès que $g, g', h, h'$ sont toutes les quatres récursives primitives.
+> 
+> > [!démonstration]- Démonstration
+> > Pour montrer que $f$ et $f'$ sont prim-réc dès que $g, g', h$ et $h'$ le sont, introduisons
+
 ![[schéma mu borné#^main|schéma µ borné]]