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généralité absolue.md

@@ -42,4 +42,4 @@ critiqué par :
 
 
 ## Obstacle logico-mathématique
-[[paradoxe de Russel]]
+[[paradoxe de Russell]]

théorie des ensemble NBC.md

@@ -26,6 +26,7 @@ Les classes sont caractérisées par $\in$, autrement dit une classe est défini
 > [!definition] Ensemble
 > Une classe $A$ est un **ensemble** s'il existe une classe $C$ telle que $A \in C$.
 > - i l'axiome d'extentionnalité s'applique également sur les ensembles
+> - i on note $\mathcal{M}$ le prédicat "est un ensemble" ($\mathcal{M}(x) \iff x \text{ est un ensemble}$)
 ^def-ensemble
 
 > [!definition] Union et Intersection
@@ -50,6 +51,7 @@ Les classes sont caractérisées par $\in$, autrement dit une classe est défini
 
 > [!proposition]+ Axiome de la paire
 > Si $x$ et $y$ sont des ensemble, alors il existe un ensemble dont les seuls éléments sont $x$ et $y$.
+> $\tiny\mathcal{M}(x) \wedge \mathcal{M}(y) \implies (\exists z,\quad \mathcal{M}(z) \wedge x \in z \wedge y \in z \wedge (\forall t,\quad t \in z \implies (t=x \vee t=z)))$
 > - i par l'axiome d'extentionnalité, on sait qu'il n'existe qu'un seul tel ensemble, que l'on note $\{ x, y \}$
 > - i si $x = y$ on note simplement $\{ x \}$, c'est un **singleton**
 > 
@@ -112,8 +114,72 @@ Les classes sont caractérisées par $\in$, autrement dit une classe est défini
 > - il existe une classe $D'$ telle que pour tout les ensemble $x, y, z$ on aie $(x, y, z) \in D' \iff (x, z, y) \in C$
 > - i ces classes ne sont pas uniquement déterminées par l'axiome d'extension, car leurs "définitions" prescrivent uniquement leurs couples ou trouples.
 
-> [!proposition]+ Axiome : classe vide
+> [!definition]+ Classe vide
 > Il existe une et une seule classe qui n'a aucun élément.
-> ON dit que c'est la classe vide et on la note $\emptyset$
+> On dit que c'est la classe vide et on la note $\emptyset$
+> > [!démonstration]- Démonstration (existence et unicité)
+> > L'axiome sue le graphe de la relation $\in$ fournit une classe $E$.
+> > On peut alors former la classe $E \cap E^{\complement}$ qui, par construction, n'a aucun élément.
+> > D'après l'axiome d'extentionnalité, c'est la seule telle classe.
+
+> [!proposition]+ Axiome (NBG) : ensemble vide
+> $\emptyset$ est un ensemble
+> - i Sans cet axiome, rien ne garantit l'existence d'ensembles
+
+> [!definition] Univers
+> La classe $U = \emptyset^{\complement}$ est appelée **univers**
+> Par définition on a $x \in U$ pour tout ensemble $x$.
+> Pour toute classe $C$ on a $C \subseteq U$
+> - i Le [[paradoxe de Russell]] montre qu'il existe une classe $R$ qui n'est pas un ensemble. Comme toute sous-classe d'un ensemble est un ensemble aussi, on sait alors que $U$ n'est pas un ensemble.
+^definition
+
+> [!definition] Union d'une classe
+> Soit $C$ une classe
+> Il existe une unique classe dont les éléments sont les éléments des éléments de $C$.
+> On note cette classe $\cup C$ (l'union de $C$).
+> > [!démonstration]- Démonstration (existence et unicité)
+> > L'existence est évidente par définition, mais on peut également utiliser l'union de éléments de $C$.
+> > L'unicité est donnée par l'axiome d'extentionnalité.
+^def-union-monadique
+
+> [!proposition]+ Produit cartésien
+> Soient $A$ et $B$ des classes, il existe une unique classe dont les éléemnts sont les $(x, y)$ avec $x \in A$ et $y \in B$.
+> On note cette classe $A \times B$
+> ---
+> Plus généralement, soit $n \in \mathbb{N}^{*}$, soient $A_1, \dots, A_{n}$ des classes
+> Il existe une classe et une seule dont les éléments sont les $n$-uplets $(x_1, \dots, x_{n})$ avec $x_1 \in A_1, \dots, x_{n} \in A_{n}$
+> On note cette classe $A_1 \times \cdots \times A_{n}$
+> - i Lorsque $A_1 = \cdots = A_{n}$ on note $A_1 \times \cdots \times A_{n} = A^{n}$
+> 
+> > [!démonstration]- Démonstration (existence et unicité)
+> > On sait par l'axiome d'extensionnalité qu'il existe au plus une telle classe (unicité).
+> > Il existe une classe $A'$ telle que $\forall x,\quad (x, y) \in A' \iff y \in A$ (telle que $A = \operatorname{dom}(A')$)
+> > Il existe une classe $B'$ telle que $\forall y,\quad (x, y) \in B' \iff x \in B$ (telle que $B = \operatorname{codom}(B')$)
+> > Alors, $A' \cap B'$ existe (par axiome d'intersection) et convient :
+> > $\forall x,\forall y,\quad (x, y) \in A'\cap B' \implies \begin{cases} x \in A \text{ car } (x, y) \in A' \cap B' \implies (x, y) \in A' \implies x \in A\\ y \in B \text{ car } (x, y) \in B' \end{cases}$
+> > 
+
+> [!proposition]+ Axiome (NBG) : Union d'un ensemble
+> Si $x$ est un ensemble, alors $\cup x$ est un ensemble aussi.
+> $\mathcal{M}(x) \implies \mathcal{M}(\cup x)$
 
 
+## Graphes
+
+> [!definition] Graphe
+> Une classe $C$ est un **graphe** si tous ses éléments sont des couples.
+
+> [!proposition]+ Image directe
+> Soit $G$ un graphe et $C$ une classe.
+> Il existe une unique classe (notée $G[C]$ ou $G\langle C \rangle$) dont les éléments sont les ensembles $y$ tels qu'il existe $x \in C$ vérifiant $(x, y) \in G$
+> Autrement dit :
+> $G[C] = \text{les ensembles } y \text{ tels que } \exists x,\quad x \in C \wedge (x, y) \in G$
+> ou encore : $y \in G[C] \iff \mathcal{M}(y) \wedge (\exists x,\quad x \in C \wedge (x, y) \in G)$
+> > [!démonstration]- Démonstration (existence et unicité)
+> > La classe $G \cap (C \times U)$ a pour éléments les couples $(x, y)$ tels que $x \in C$ et $(x, y) \in G$.
+> > Son [[théorie des ensemble NBC#^ax-codomaine|codomaine]] convient : $G[C] = \operatorname{codom}(G \cap (C \times U))$
+> > Cela montre l'existence de $G[C]$
+> > Son unicité est donnée par extentionnalité
+
+> [!definition] Classe fonctionnelle
+> Une classe $F$ est dite **fonctionnelle** si pour tous ensembles $x, y, z$ tels que $(x, y) \in F$ et $(x, z) \in F$ on a $y = z$