From f575ec76fff0992e71c3f22f673eb0313b8cc6fd Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: oskar Date: Sat, 6 Jun 2026 22:23:47 +0200 Subject: [PATCH] MacBookPro.lan 2026-6-6:22:23:47 --- généralité absolue.md | 2 +- théorie des ensemble NBC.md | 70 +++++++++++++++++++++++++++++++++++-- 2 files changed, 69 insertions(+), 3 deletions(-) diff --git a/généralité absolue.md b/généralité absolue.md index 650d1d34..fb1ac1b1 100644 --- a/généralité absolue.md +++ b/généralité absolue.md @@ -42,4 +42,4 @@ critiqué par : ## Obstacle logico-mathématique -[[paradoxe de Russel]] +[[paradoxe de Russell]] diff --git a/théorie des ensemble NBC.md b/théorie des ensemble NBC.md index e8fbaf40..398793bd 100644 --- a/théorie des ensemble NBC.md +++ b/théorie des ensemble NBC.md @@ -26,6 +26,7 @@ Les classes sont caractérisées par $\in$, autrement dit une classe est défini > [!definition] Ensemble > Une classe $A$ est un **ensemble** s'il existe une classe $C$ telle que $A \in C$. > - i l'axiome d'extentionnalité s'applique également sur les ensembles +> - i on note $\mathcal{M}$ le prédicat "est un ensemble" ($\mathcal{M}(x) \iff x \text{ est un ensemble}$) ^def-ensemble > [!definition] Union et Intersection @@ -50,6 +51,7 @@ Les classes sont caractérisées par $\in$, autrement dit une classe est défini > [!proposition]+ Axiome de la paire > Si $x$ et $y$ sont des ensemble, alors il existe un ensemble dont les seuls éléments sont $x$ et $y$. +> $\tiny\mathcal{M}(x) \wedge \mathcal{M}(y) \implies (\exists z,\quad \mathcal{M}(z) \wedge x \in z \wedge y \in z \wedge (\forall t,\quad t \in z \implies (t=x \vee t=z)))$ > - i par l'axiome d'extentionnalité, on sait qu'il n'existe qu'un seul tel ensemble, que l'on note $\{ x, y \}$ > - i si $x = y$ on note simplement $\{ x \}$, c'est un **singleton** > @@ -112,8 +114,72 @@ Les classes sont caractérisées par $\in$, autrement dit une classe est défini > - il existe une classe $D'$ telle que pour tout les ensemble $x, y, z$ on aie $(x, y, z) \in D' \iff (x, z, y) \in C$ > - i ces classes ne sont pas uniquement déterminées par l'axiome d'extension, car leurs "définitions" prescrivent uniquement leurs couples ou trouples. -> [!proposition]+ Axiome : classe vide +> [!definition]+ Classe vide > Il existe une et une seule classe qui n'a aucun élément. -> ON dit que c'est la classe vide et on la note $\emptyset$ +> On dit que c'est la classe vide et on la note $\emptyset$ +> > [!démonstration]- Démonstration (existence et unicité) +> > L'axiome sue le graphe de la relation $\in$ fournit une classe $E$. +> > On peut alors former la classe $E \cap E^{\complement}$ qui, par construction, n'a aucun élément. +> > D'après l'axiome d'extentionnalité, c'est la seule telle classe. + +> [!proposition]+ Axiome (NBG) : ensemble vide +> $\emptyset$ est un ensemble +> - i Sans cet axiome, rien ne garantit l'existence d'ensembles + +> [!definition] Univers +> La classe $U = \emptyset^{\complement}$ est appelée **univers** +> Par définition on a $x \in U$ pour tout ensemble $x$. +> Pour toute classe $C$ on a $C \subseteq U$ +> - i Le [[paradoxe de Russell]] montre qu'il existe une classe $R$ qui n'est pas un ensemble. Comme toute sous-classe d'un ensemble est un ensemble aussi, on sait alors que $U$ n'est pas un ensemble. +^definition + +> [!definition] Union d'une classe +> Soit $C$ une classe +> Il existe une unique classe dont les éléments sont les éléments des éléments de $C$. +> On note cette classe $\cup C$ (l'union de $C$). +> > [!démonstration]- Démonstration (existence et unicité) +> > L'existence est évidente par définition, mais on peut également utiliser l'union de éléments de $C$. +> > L'unicité est donnée par l'axiome d'extentionnalité. +^def-union-monadique + +> [!proposition]+ Produit cartésien +> Soient $A$ et $B$ des classes, il existe une unique classe dont les éléemnts sont les $(x, y)$ avec $x \in A$ et $y \in B$. +> On note cette classe $A \times B$ +> --- +> Plus généralement, soit $n \in \mathbb{N}^{*}$, soient $A_1, \dots, A_{n}$ des classes +> Il existe une classe et une seule dont les éléments sont les $n$-uplets $(x_1, \dots, x_{n})$ avec $x_1 \in A_1, \dots, x_{n} \in A_{n}$ +> On note cette classe $A_1 \times \cdots \times A_{n}$ +> - i Lorsque $A_1 = \cdots = A_{n}$ on note $A_1 \times \cdots \times A_{n} = A^{n}$ +> +> > [!démonstration]- Démonstration (existence et unicité) +> > On sait par l'axiome d'extensionnalité qu'il existe au plus une telle classe (unicité). +> > Il existe une classe $A'$ telle que $\forall x,\quad (x, y) \in A' \iff y \in A$ (telle que $A = \operatorname{dom}(A')$) +> > Il existe une classe $B'$ telle que $\forall y,\quad (x, y) \in B' \iff x \in B$ (telle que $B = \operatorname{codom}(B')$) +> > Alors, $A' \cap B'$ existe (par axiome d'intersection) et convient : +> > $\forall x,\forall y,\quad (x, y) \in A'\cap B' \implies \begin{cases} x \in A \text{ car } (x, y) \in A' \cap B' \implies (x, y) \in A' \implies x \in A\\ y \in B \text{ car } (x, y) \in B' \end{cases}$ +> > + +> [!proposition]+ Axiome (NBG) : Union d'un ensemble +> Si $x$ est un ensemble, alors $\cup x$ est un ensemble aussi. +> $\mathcal{M}(x) \implies \mathcal{M}(\cup x)$ +## Graphes + +> [!definition] Graphe +> Une classe $C$ est un **graphe** si tous ses éléments sont des couples. + +> [!proposition]+ Image directe +> Soit $G$ un graphe et $C$ une classe. +> Il existe une unique classe (notée $G[C]$ ou $G\langle C \rangle$) dont les éléments sont les ensembles $y$ tels qu'il existe $x \in C$ vérifiant $(x, y) \in G$ +> Autrement dit : +> $G[C] = \text{les ensembles } y \text{ tels que } \exists x,\quad x \in C \wedge (x, y) \in G$ +> ou encore : $y \in G[C] \iff \mathcal{M}(y) \wedge (\exists x,\quad x \in C \wedge (x, y) \in G)$ +> > [!démonstration]- Démonstration (existence et unicité) +> > La classe $G \cap (C \times U)$ a pour éléments les couples $(x, y)$ tels que $x \in C$ et $(x, y) \in G$. +> > Son [[théorie des ensemble NBC#^ax-codomaine|codomaine]] convient : $G[C] = \operatorname{codom}(G \cap (C \times U))$ +> > Cela montre l'existence de $G[C]$ +> > Son unicité est donnée par extentionnalité + +> [!definition] Classe fonctionnelle +> Une classe $F$ est dite **fonctionnelle** si pour tous ensembles $x, y, z$ tels que $(x, y) \in F$ et $(x, z) \in F$ on a $y = z$