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désintégration audioactive.md

@@ -437,6 +437,12 @@ Conway leur donne des noms d'éléments (de l'hydrogène à l'uranium, ce qui fa
 
 1. Cela est montré par la table des éléments donnée plus haut. Le lecteur sceptique pourra vérifier la correction des dérivations.
 2. Cela est également montré par la table des élément.
+   Le principe de la démonstration est le suivant :
+    1. montrer que si un élément apparaît, alors n'importe quel autre élément finira par apparaître
+    2. montrer que si le Lithium ($Li = E_{3}$) apparaît, alors il finira par être présent dans toutes les chaînes après un certain temps
+    3. montrer que le Lithium engendre l'Uranium
+    4. montrer que l'Uranium engendre tous les autres éléments
+    5. conclure
    En effet, pour tout $E_{n}$ (pour $n\geq 2$) contient, dans sa chaine dérivée, l'élément $E_{n-1}$.
    Pour plus de clarté, on utilisera la notation $E_{n} \xrightarrow{k} E_{i} \& E_{j} \& \cdots$ au lieu de $\forall C \text{ chaine},\quad \forall t\in \mathbb{N},\quad E_{n} \in C_{t} \implies E_{i} \in C_{t+k} \wedge E_{j}\in C_{t+k}\dots$
    Ainsi, si l'on considère une chaine $C$ telle que l'élément $E_{n}$ apparaît après $t$ dérivations (dans $C_{t}$), et soit $m\leq n$ on peut affirmer que tous les éléments présents dans la dérivée de l'élément $E_{m}$ (colonne "éléments dans la dérivée", ligne $m$ du tableau) seront présents après $t+n-m$ dérivations (dans $C_{t+n-m}$). Autrement dit : $E_{n} \xrightarrow{n-m} \text{éléments dans la dérivée de }E_{m}$
@@ -451,9 +457,10 @@ Conway leur donne des noms d'éléments (de l'hydrogène à l'uranium, ce qui fa
     - Tous les $C_{\geq t_0+ 200}$ contiendront simultanément du Hafnium et du Lithium
         - on sait déjà qu'un $C_{\leq t_0+100}$ contient simultanément du Hafnium et du Lithium. Comme $\ce{Hf}\&\ce{Li} \xrightarrow{2} \ce{Hf}\&\ce{Li}$, on sait qu'un descendant sur deux contiendra également du Hafnium et du Lithium, autrement dit : $\exists t \leq t_0 + 100,\quad \forall k \in \mathbb{N},\quad \ce{Hf}\&\ce{Li} \in C_{t + 2k}$. Pour les $t$ pairs, on utilise le fait que $\ce{Hf}\&\ce{Li} \xrightarrow{71} \ce{Hf}\&\ce{Li}$, ainsi $\exists t \leq t_0 + 100,\quad \forall k \in \mathbb{N},\quad \ce{Hf}\&\ce{Li} \in C_{t + 2k + 71}$. En combinant les deux résultat on a bien la propriété voulue.
     - Tous les $C_{\geq t_0 + 300}$ contiendront de l'Uranium
+        - Cela découle de deux propriétés déjà montrées : que tous les $C_{\geq t_0 + 200}$ contiennent du Hafnium, et que $\ce{Hf}\xrightarrow{34}\ce{U}$.
     - Tous les $C_{\geq t_0 + 400}$ contiendront simultanément tous les éléments
-        - en effet, l'Uranium ($E_{92}$) contenu dans $C_{t_0 + 300}$ engendrera du Proactinium ($E_{91}$) dans $C_{t_0+301}$, qui engendrera du Thorium ($E_{90}$) dans $C_{t_0 + 302}$ (et l'Uranium de $C_{t_0+301}$ engendrera à nouveau du Proactinium) et ainsi du suite pour tous les 92 éléments.
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+        - $\ce{U} \in C_{t_0+300}$ donc $\ce{Pa} \in C_{t_0+301}$, et même $\ce{U\&}\ce{Pa} \in C_{t_0 + 301}$ par la propriété précédente. Pour les mêmes raison : $\ce{U\&Pa\&Th} \in C_{t_0+302},\quad$ $\ce{U\&Pa\&Th\&Ac} \in C_{t_0+303},\quad$ $\ce{U\&Pa\&Th\&Ac\&Ra} \in C_{t_0+303},\dots$ et ainsi de suite.
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