eduroam-prg-sg-1-46-206.net.univ-paris-diderot.fr 2025-10-8:14:55:30

théorie logique.md

@@ -6,6 +6,7 @@
 
 # Propriétés
 
+## Cohérence
 > [!proposition]+ Cohérence
 > une théorie est cohérente     
 > 
@@ -32,9 +33,36 @@
 > > > Soit $F \subseteq T$ une partie finie de $T$
 > > > On se demande si $F$ est cohérente
 > > > $f \in F \leadsto n_{f} \in \mathbb{N} \text{ tq } f \in T_{n_{f}}$
-> > > $\displaystyle n = min_{f \in F}(n_{f})$
-
+> > > $\displaystyle n = \min_{f \in F}(n_{f})$
+> > > $F \subseteq T_{n}$ cohérente par hypothèses 
+> > > Donc $F$ est cohérente
+>  
+> > [!corollaire] 
+> > Soit $(T_{i})_{i \in I}$ une **[[famille filtrante]]** de théories **cohérentes**
+> > Alors $\displaystyle \bigcup _{i \in I} T_{i}$ est cohérente
+> 
+> > [!corollaire] 
+> > Si $T$ est une théorie cohérente
+> > Il existe une théorie cohérente $T'$ telle que $T \subseteq T'$ et qui est maximale (parmi les théories cohérentes contenant $T$) :
+> > $\begin{cases} T \subseteq T' \\ T' \text{ est cohérente} \\ \text{si } f \not\subset T',\quad T' \cup \{  f  \} \text{ n'est pas cohérente} \end{cases}$
+> > 
+> > > [!démonstration]- Démonstration
+> > > Application du [[lemme de Zorn]] :
+> > > $\mathscr{C} = \{ \text{théories cohérentes} \}$ est inductif
+> > > toute famille filtrante d'éléments de $\mathscr{C}$ est donc majorée
 
+> [!proposition]+ Théorème de déduction
+> Soit $f$ un énoncé, soit $T$ une théorie
+> On a équivalence entre :
+>  - $T \cup \{ f \} \vdash g$
+>  - $T \vdash f \to g$
+> 
+> > [!démonstration]- Démonstration
+> > Soit $(g_1, \dots, g_{n})$ une démonstration formelle de $T \cup \{ f \} \vdash g$
+> > On obtient une démonstration formelle de $T \vdash f \to g$ en partant de la suite $(f \to g_1, \dots, f\to g_{n})$ et en insérant des formules supplémentaires :
+> > $T \vdash f \to g_1 \qquad T \cup \{ f \}$
+> > $\vdots$
+> > $T \vdash f \to g_{n-1}$