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structure de données.arbre.md

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+aliases:
+  - arbre
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+up::[[structure de données]], [[graphe]]
+#maths #informatique/algorithmie
+
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+Un arbre est une [[structure de données]]
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+# Définition récursive
+Un arbre est défini comme une valeur, et une liste de sous-arbres.
+On appelle ce couple (valeur, liste de sous arbre) un **noeud**
+On considère généralement aussi l'arbre _nul_ (qui ne possède aucun noeuds) comme un arbre également.
+
+## Détails d'implémentation
+Pour une implémentation, on considère généralement un arbre comme une valeur et une liste (éventuellement vide) de sous-arbre
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+
+# Définition mathématique
+## En théorie des graphes
+Un _arbre_ un [[graphe]] **acyclique** (qui ne possède aucun [[cycle (théorie des graphes)|cycle]]) et [[connexité (théorie des graphes)|connexe]].
+
+## Avec des relations
+Un _arbre_ est la donnée d'un ensemble $E$ et d'une [[relation]] 
+[[relation symétrique|symétrique]] $\mathscr R$ sur $E$ telle que deux points distincts quelconques $x$ et $y$ de $E$ soient reliés par un seul chemin injectif fini, c.a.d $n+1$ points $z_0,\ldots,z_n$ de $E$ vérifiant $z_0 = x$, $\forall i<n, z_i \mathscr R z_{i+1}$ et $z_n = y$.
+
+
+# Propriétés
+- **racine** : la racine d'un arbre est le noeud que l'on définit comme celui de "départ".
+    - Dans la définition récursive, c'est celui qui contient tous les sous-arbres
+- **hauteur** : la profondeur maximale d'un arbre
+    - Un arbre à un seul noeud à une hauteur de 0
+    - Un arbre _nul_ à une hauteur de -1
+- **profondeur** : la profondeur d'un noeud est la longueur du chemin le plus court qui le mène à la **racine** de l'arbre
+- **degré** d'un noeud : le nombre d'enfants de ce noeud
+
+
+# Exemple
+```mermaid
+graph TD 
+0 --> 1
+0 --> 2
+0 --> 3
+1 --> 4
+1 --> 5
+2 --> 6
+2 --> 7
+2 --> 8
+2 --> 9
+3 --> 10
+4 --> 11
+6 --> 12
+6 --> 13
+7 --> 14
+10 --> 15
+11 --> 16
+16 --> 17
+```
+
+Dans cet arbre :
+ - ` 0 ` est la **racine**
+ - ` 4 ` et ` 5 ` sont les **enfants** de ` 1 `
+ - ` 2 ` est un noeud de **degré** 4
+ - ` 12 ` à une **profondeur** de 3
+ 
+L'arbre à une **hauteur** de 5
+