eduroam-prg-sg-1-45-234.net.univ-paris-diderot.fr 2025-9-23:14:30:53

filtre de fréchet.md

@@ -9,4 +9,14 @@ aliases:
 > [!definition] Définition
 > On définit $\mathscr{F}$ le filtre de Fréchet par : 
 > $A \in \mathscr{F}$ si $X - A$ est fini
-^definition
+^definition
+
+# Démonstration que c'est bien un filtre
+
+ 1. $X - X = \emptyset$ est bien fini
+ 2. soient $A, B \in \mathscr{F}$ on a :
+    $X - (A \cap B) = (X-A) \cup (X-B)$ 
+    or la réunion de deux ensembles finis est finie d'où il suit que $A \cap B \in \mathscr{F}$
+ 3. Soit $A \in \mathscr{F}$ avec $A \subseteq B$ 
+    $X - B \subseteq X - A$ or on sait que $X - A$ est fini, et qu'une partie d'un ensemble fini est finie, d'où on a que $X - B$ est fini et donc que $B \in \mathscr{F}$
+