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support d'une permutation.md

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+aliases:
+  - support
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 up::[[permutation]]
 #maths/algèbre 
 
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+> [!definition] [[support d'une permutation]]
+> Soit $\sigma \in \mathfrak{S}_{n}$ une permutation
+> Le **support** de $\sigma$ est défini par :
+> $\mathrm{supp}(\sigma) := \{ i \in [\![1; n ]\!] \mid \sigma(i) \neq i \}$
+^definition
 
-Soit $\sigma$ une [[permutation]].
-On note $\text{Supp}(\sigma)$ et on appelle _support de $\sigma$_ l'ensemble des éléments qui **ne sont pas [[invariant par une permutation|invariants]] par $\sigma$**
-
-C'est donc le [[complémentaire d'un ensemble|complémentaire]] de l'ensemble des [[invariant par une permutation|invariants par]] $\sigma$.
-
-# Définition
-Soit $\sigma\in\mathfrak S_n$
-$\text{Supp}(\sigma) = \{n\in[\![1;n]\!]|\sigma(n)\neq n\}$
+> [!idea] Intuition
+> Le support d'une permutation est l'ensemble des éléments qui **ne sont pas [[invariant par une permutation|invariants]] par $\sigma$**
+> 
+> C'est donc le [[complémentaire d'un ensemble|complémentaire]] dans $\mathfrak{S}_{n}$ de l'ensemble des [[invariant par une permutation|invariants par]] $\sigma$.
 
 # Propriétés
+
 $\text{Supp}(\sigma) = \text{Supp}(\sigma^{-1})$
 
-$\text{Supp}(id)=\emptyset$ car la permutation 
+$\text{Supp}(\mathrm{id})=\emptyset$ car la permutation identité n'a que des points fixes
+
+> [!proposition]+ stabilité du support
+> Le support d'une permutation $\sigma$ est stable par $\sigma$ :
+> $\forall i \in \mathrm{supp}(\sigma),\quad \sigma(i) \in \mathrm{supp}(\sigma)$
+> > [!démonstration]- Démonstration
+> > Soit $i \in  \mathrm{supp}(\sigma)$
+> > Si $\sigma(i) \notin \mathrm{supp}(\sigma)$, alors on doit avoir $\sigma(\sigma(i)) = \sigma(i)$, mais en appliquant $\sigma ^{-1}$ on trouve $\sigma(i) = i$, ce qui est impossible
+> > Donc, $\sigma(\sigma(i)) \neq \sigma(i)$, et donc $\sigma(i) \in \mathrm{supp}(\sigma)$
+
+> [!proposition]+ Commutativité et support
+> Deux permutations à support disjoints commutent :
+> Soient $\sigma, \rho \in \mathfrak{S}_{n}$
+> $\mathrm{supp}(\sigma) \cap \mathrm{supp}(\rho) = \emptyset \implies \sigma \circ \rho = \rho \circ \sigma$
+> - ! deux permutations peuvent commuter sans avoir des supports disjoints (ex : $\sigma$ et $\sigma$)
+> 
+> > [!démonstration]- Démonstration
+> > Soient $\sigma, \rho \in \mathfrak{S}_{n}$ tels que $\mathrm{supp}(\sigma) \cap \mathrm{supp}(\rho) = \emptyset$
+> > Si $E := \{ 1,\dots, n \} \setminus (\mathrm{supp}(\sigma) \sqcup \mathrm{supp}(\rho))$
+> > alors $\{ 1,\dots, n \} = (\mathrm{supp}(\sigma) \sqcup \mathrm{supp}(\rho)) \sqcup E$
+> > Soit $i \in \{ 1,\dots, n \}$
+> > - Si $i \in E$, alors $i \notin \mathrm{supp}(\sigma)$ et $i \notin \mathrm{supp}(\rho)$
+> > donc $\sigma \rho(i) = \sigma(\rho(i)) = \sigma(i) = i$ et $\rho \sigma (i) = \rho(\sigma(i)) = \rho(i) = i$ 
+> > ainsi on a : $\sigma \rho(i) = \rho \sigma(i)$
+> > - Si $i \in \mathrm{supp}(\sigma)$
+> > On a $\sigma \rho(i) = \sigma(\rho(i)) = \sigma(i)$, en effet $i \notin \mathrm{supp}(\rho)$ donc $\rho(i) = i$
+> > On a aussi $\rho \sigma(i) = \rho (\sigma(i)) = \sigma(i)$ car $\sigma(i) \in \mathrm{supp}(\sigma)$ donc $\sigma(i) \notin \mathrm{supp}(\rho)$
+> > ainsi on a : $\sigma \rho = \rho \sigma$
+> > - Si $i \in \mathrm{supp}(\rho)$ alors on a directement $\rho \sigma(i) = \sigma \rho(i)$ par symétrie
+> > - Finalement, dans tous les cas, $\sigma \rho = \rho \sigma$, donc $\rho$ et $\sigma$ commutent bien.
+