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suite extraite.md

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+aliases:
+  - suite extraite
+  - sous-suite
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+up::[[suite]]
+#maths/analyse
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+> [!definition] 
+> Soit $(u_{n})$ une suite
+> Une _sous suite_ de $(u_{n})$ (ou _suite extraite_) est une suite de la forme :
+> $\left( u_{\varphi(n)} \right)_{n \in \mathbb{N}}$ où $\varphi : \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ est strictement croissante
+^definition
+
+# Propriétés
+Soit $(u_{n})$ une suite
+Soit $\left( u_{\varphi(n)} \right)_{n \in \mathbb{N}}$ une sous-suite de $(u_{n})$
+
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+> [!proposition]+ 
+> $\lim\limits_{n \rightarrow \infty} u_{n} = l \implies \lim\limits_{n \rightarrow \infty} u_{\varphi(n)} = l$
+> si $u_{n}$ converge, alors toutes ses sous-suites convergent vers la même limite.
+> [[démonstration une suite extraite d'une suite convergente converge vers la même limite|démonstration]]
+^meme-limite-suite-extraite
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+> [!proposition]+ 
+> $\lim\limits_{n \to \infty} u_{n} = l  \iff  \forall \varphi \in \mathbb{N}^{\mathbb{N}}, \lim\limits_{n \to \infty} u_{\varphi(n)} = l$
+  > $(u_{n})$ converge vers $l$ ssi **toute** sous-suite de $(u_{n})$ converge vers $l$
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