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sous groupe engendré.md

@@ -7,7 +7,7 @@ up::[[sous groupe]]
 
 > [!definition] [[sous groupe engendré]]
 > Soit $G$ un groupe et $S \subseteq G$ une partie de $G$
-> L'intersection de tous les [[sous-groupe|sous-groupes]] de $G$ qui contiennent $S$ est appelé le **sous-groupe engendré par $S$**.
+> L'intersection de tous les [[sous groupe|sous-groupes]] de $G$ qui contiennent $S$ est appelé le **sous-groupe engendré par $S$**.
 > On le note $\langle S \rangle$ ou $\left\langle S \right\rangle_{G}$.
 > Le groupe $G$ est appelé **groupe ambient** du sous groupe engendré $S$. On peut engendrer un groupe sans groupe ambient. On parle alors de [[groupe libre]].
 ^definition
@@ -23,15 +23,15 @@ up::[[sous groupe]]
 
 > [!proposition]+ Proposition
 > Soit $G$ un groupe et $S \subseteq G$
-> Le [[sous-groupe]] $\left\langle S \right\rangle$ est le plus petit [[sous-groupe]] de $G$ qui contient $S$.
-> En particulier, si $H$ est un [[sous-groupe]] de $G$, alors :
+> Le [[sous groupe]] $\left\langle S \right\rangle$ est le plus petit [[sous groupe]] de $G$ qui contient $S$.
+> En particulier, si $H$ est un [[sous groupe]] de $G$, alors :
 > $\boxed{H \supseteq S \iff H \supseteq \left\langle S \right\rangle}$
 > - I Similaire à la propiété :
 > Soient $E$ un [[espace vectoriel]] et $F$ un [[sous espace vectoriel]] de $E$. $F \supseteq \mathrm{vect}(x_1, \dots, x_{n}) \iff \forall i,\quad F \ni x_{i}$
 > 
 > > [!démonstration]- Démonstration
-> > Soit $\Sigma$ l'ensemble des [[sous-groupe|sous-groupes]] de $G$ qui contiennent $S$, de sorte que $\displaystyle\left\langle S \right\rangle = \bigcap _{K \in \Sigma} K$
-> > Soit $H$ un [[sous-groupe]] de $G$
+> > Soit $\Sigma$ l'ensemble des [[sous groupe|sous-groupes]] de $G$ qui contiennent $S$, de sorte que $\displaystyle\left\langle S \right\rangle = \bigcap _{K \in \Sigma} K$
+> > Soit $H$ un [[sous groupe]] de $G$
 > > 1. $\impliedby$
 > > On suppose $H \supseteq \left\langle S \right\rangle$
 > > Par définition, $\forall K \in \Sigma ,\quad K \supset S$
@@ -39,9 +39,9 @@ up::[[sous groupe]]
 > > Donc $G \supseteq \left\langle S \right\rangle \supseteq S$
 > > 2. $\implies$
 > > On suppose $H \supseteq S$
-> > Ainsi $H$ est un [[sous-groupe]] de $G$ contenant $S$, donc $H \in \Sigma$
+> > Ainsi $H$ est un [[sous groupe]] de $G$ contenant $S$, donc $H \in \Sigma$
 > > Ainsi, $\displaystyle\left\langle S \right\rangle = \bigcap _{K\in \Sigma} K = H \cap \bigcap _{K \in \Sigma \setminus \{  H \}} K \subseteq H$
-> > Le [[sous-groupe]] $\left\langle S \right\rangle$ est bien le plus petit [[sous-groupe]] de $G$ qui contienne $S$, car il contient tous les [[sous-groupe]] de $G$ qui contiennent $S$
+> > Le [[sous groupe]] $\left\langle S \right\rangle$ est bien le plus petit [[sous groupe]] de $G$ qui contienne $S$, car il contient tous les [[sous groupe]] de $G$ qui contiennent $S$
 
 > [!proposition]+ Proposition
 > Soit $G$ un groupe
@@ -64,7 +64,7 @@ up::[[sous groupe]]
 > > - $\{ 1 \} \supseteq \left\langle S \right\rangle$ par la proposition précédente
 > > 
 > > On suppose maintenant $S \neq \emptyset$
-> > Soit $H$ la partie définie dans l'énoncé. On veut montrer que $H$ est un [[sous-groupe]] de $G$ :
+> > Soit $H$ la partie définie dans l'énoncé. On veut montrer que $H$ est un [[sous groupe]] de $G$ :
 > > On a bien $1 \in H$ car (le produit pour $n = 0$ ou) $1 = s \cdot s ^{-1}$ où $s \in S$ (car $s ^{-1} \in S$)
 > > Soient $x, y \in H$, avec $x = x_1, \dots x_{m}$ et $y = y_1, \dots yd_{n}$ et $x_{i}, y_{j} \in S \cup S^{-1}$
 > > Si $y_{j}  \in S^{-1}$, alors $\exists z \in S,\quad y_{j} = z^{-1}$