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ordre d'un élément d'un groupe.md

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+aliases:
+  - ordre
+  - ordre d'un élément
+---
 up::[[groupe]]
 #maths/algèbre 
 
@@ -41,6 +46,7 @@ up::[[groupe]]
 > - si $o(x) = \infty$, alors la fonction :
 > $\begin{align} g: \mathbb{Z} \to& \left\langle x \right\rangle \\ i \mapsto x^{i} \end{align}$
 > est une bijection
+> 
 > > [!démonstration]- Démonstration
 > > - On suppose d'abord $o(x) = \infty$
 > > l'application $g$ est bien définie, car $\forall i \in \mathbb{N},\quad x^{i} = x \cdot x\cdots x \in \left\langle x \right\rangle$ 
@@ -69,7 +75,7 @@ up::[[groupe]]
 > >     3. Comme $f$ est surjective et injective, alors elle est bijective
 > >     De là suit $o(x) = \#\left< x \right>$
 > 
-> > [!corollaire] Corollaire 
+> > [!corollaire] 
 > > Soit $G$ un groupe **fini**
 > > Soit $x \in G$
 > > $\boxed{o(x) | \# G}$
@@ -79,11 +85,46 @@ up::[[groupe]]
 > > > $\#\left< x \right> | \#G$  par le [[théorème de Lagrange]]
 > > > donc, $o(x) | \#G$
 > 
+^cbd28c
 
-> [!example] Exemple sur le [[groupe du rubik's cube]]
-> > Comme le groupe du rubik's cube est un sous-groupe de $\mathfrak{S}_{48}$, aucune permutation n'a pour ordre $53$ (puisque 53 est premier avec 48 et supérieur à 48)
+> [!proposition]+ 
+> Soit $G$ un groupe
+> Soit $x \in G$ d'ordre $n$
+> 1. $\forall k \geq 1,\quad o(x^{k}) = \dfrac{n}{\mathrm{pgcd}(n, k)}$
+> 2. $\text{\# générateurs de } \left< x \right> = \varphi(n)$ [[fonction indicatrice d'Euler]]
+> > [!démonstration]- Démonstration
+> > Soit $x \in G$ avec $n := \# G$
+> > L'ordre $d$ de $x$ vérifie $d | n$ par le [[théorème de Lagrange]]
+> > le sous-groupe $\left< x \right>$ est d'ordre $d$ $\qquad(1)$
+> > De plus, toujours par le [[théorème de Lagrange]], on sait que $\forall y \in \left< x \right>,\quad o(y) | d$
+> > donc $\forall y \in \left<  x \right>,\quad y^{d} = 1$ $\qquad(2)$
+> > Or, par le lemme, on sait que $\#\{ z \in G \mid z^{d} = 1 \} \leq d$
+> > Par $(1)$ et $(2)$ on déduit que :
+> > $\#\{ z \in G \mid z^{d} = 1 \} = \left< x \right>$
+> > ---
+> > Ainsi, si $y \in G$ est d'ordre $d$, alors $y^{d} = 1$, donc $y \in \left< x \right>$
+> > Donc, par la proposition, on a $N_{d} :=\#\{ y \in G \mid o(y) = d \} = \#\{ y \in \left< x \right> \mid o(y) = d \} = \varphi(d)$
+> > ---
+> > On a donc montré que :
+> > $\forall d|n,\quad N_{d} = \#\{ y \in G \mid o(y) = d \} = \begin{cases} \varphi(d) & \text{si } \exists x \in G,\quad o (x) = d\\ 0 & \text{sinon} \end{cases}$
+> > On a, par le [[théorème de Lagrange]]
+> > $\#G = n = \sum\limits_{d|n} N_{d}$
+> > Puisque $\begin{cases} \forall d|n,\quad N_{d} \leq \varphi(d) \\ n = \sum\limits_{d|n} \varphi(d) \end{cases}$ on conclut que $\forall d|n,\quad N_{d} = \varphi(d)$
+> > ---
+> > On a donc $N_{n} = \varphi(n) \geq 1$ donc $G$ possède au moins un élément d'ordre $n$, d'où suit que $G$ est [[groupe cyclique|cyclique]]
 > > 
-
+> 1. $\forall d|n,\quad \left| \{ y \in \left< x \right> \mid o(y) = d \} \right| = \varphi(d)$
+>     - ce résultat ne dépend pas de $n$
+> > [!démonstration]- Démonstration
+> > 3. pour $k \in [\![1; n]\!]$ on a :
+> > $\begin{align} o(x^{k}) = d &\overset{\;1.}{\iff} \frac{n}{\mathrm{pgcd}(n; k)} = d \\&\iff \mathrm{pgcd}(n, k) = \frac{n}{d} \\&\iff \begin{cases} n = \frac{n}{d} \cdot d\\ k = \frac{n}{d} \cdot k \end{cases} \\&\iff k = \frac{n}{d} \cdot k' \text{ avec } k' \in [\![1; d]\!] \text{ et } \mathrm{pgcd}(k', d) = 1\end{align}$
+> > ainsi, il y a $\varphi(d)$ tels entiers $k$
+> 
+> > [!corollaire] 
+> > Soit $n \geq 1$
+> > On a $n = \sum\limits_{d | n} \varphi(d)$
+> > > [!démonstration]- Démonstration
+> > > $n = \# \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} = \sum\limits_{d|n} \# \{  x \in \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} | o(x) = d \} = \sum\limits_{d | n} \varphi(d)$
 
 # Exemples
 
@@ -117,4 +158,9 @@ up::[[groupe]]
 > $o(\text{RU'}) = 63$
 >  - [ ] #task $o(\text{RU}) = ?$ 📅 2024-10-01
 
+> [!example] Exemple sur le [[groupe du rubik's cube]]
+> > Comme le groupe du rubik's cube est un sous-groupe de $\mathfrak{S}_{48}$, aucune permutation n'a pour ordre $53$ (puisque 53 est premier avec 48 et supérieur à 48)
+> > 
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