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orbites du groupe symétrique.md

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+aliases:
+  - σ-orbites
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+up:: [[groupe symétrique]], [[orbites d'un groupe]]
+#maths/algèbre 
+
+> [!definition]+ $\sigma$-orbites
+> Soit $\sigma \in \mathfrak{S}_{n}$, on considère la relation suivante sur $\{ 1,\dots,n \}$ :
+> $i \mathcal{R} j \iff \exists k \in \mathbb{Z},\quad \sigma^{k}(i) = j$
+> C'est une [[relation d'équivalence]] :
+> - $i \mathcal{R} j \implies j \mathcal{R} i$ car $\sigma$ est une bijection
+> - $i \mathcal{R} i$ car $\sigma^{0} = \mathrm{id}$
+> - $i\mathcal{R}j\mathcal{R}k \implies i \mathcal{R} k$
+> Les classes d'équivalence par cette relation sont appelés les **$\sigma$-orbites**
+
+> [!definition] [[orbites du groupe symétrique]]
+> Soit $\sigma \in \mathfrak{S}_{n}$
+> Soit $i \in \{ 1 ,\dots, n \} \}$
+> On note $\mathrm{Orb}_{\sigma}(i) := \{ \sigma^{k}(i) \mid k \in \mathbb{Z} \}$
+> la $\sigma$-orbite contenant $i$
+
+# Propriétés
+> [!proposition]+ 
+> La réunion disjointe des orbites donne $[\![1; n]\!]$
+> $\displaystyle\{ 1,\dots, n \} = \bigsqcup_{\substack{\Omega \text{ est une}\\ \sigma-\text{orbite}}} \Omega$
+
+> [!proposition]+ Ordre d'une permutation en un point
+> Soient $\sigma \in \mathfrak{S}_{n}$ et $i \in \{ 1 ,\dots, n \}$
+> Soit $N := \min \{ k \in \mathbb{N}^{*} \mid \sigma^{k}(i) = i \}$
+> On a :
+> $$\mathrm{Orb}_{\sigma} (i) = \{ i, \sigma(i), \sigma^{2}(i), \dots, \sigma^{N-1}(i) \}$$
+> et donc $\#\mathrm{Orb}_{\sigma}(i) = N$
+> - I $N = \#\mathrm{Orb}_{\sigma}(i)$ est appelé l'**ordre de $\sigma$ en $\mathbf{i}$**
+
+> [!proposition]+ 
+> Soient $\sigma \in \mathfrak{S}_{n}$ et $i \in \{ 1 ,\dots, n \}$
+> Soit $N = \#\mathrm{Orb}_{\sigma}(i)$ l'ordre de $\sigma$ en $i$
+> Soient $0 \leq k \leq l < N$ tels que $\sigma^{k}(i) = \sigma^{l}(i)$
+> Alors $\boxed{k = l}$
+> > [!démonstration]- Démonstration
+> > On a $i = \sigma^{l-k}(i)$
+> > Or, on a $l - k \geq 0$
+> > donc si $l - k > 0$, on a $l - k \geq N$, ce qui est impossible car $\begin{cases} l < N\\ k \geq 0 \end{cases}$
+> > De là suit que $l - k = 0$, c'est-à-dire $l = k$
+> > 
+
+# Exemples
+
+
+> [!example] Exemple
+> Soit $\sigma = \begin{pmatrix} 1&2&3&4&5&6\\ 2&1&3&6&4&5\end{pmatrix}$
+> on a :
+> - $\mathrm{Orb}_{\sigma}(1) = \mathrm{Orb}_{\sigma}(2) = \{ 1, 2 \}$
+> - $\mathrm{Orb}_{\sigma}(3) = \{ 3 \}$
+> - $\mathrm{Orb}_{\sigma}(4) = \mathrm{Orb}_{\sigma}(5) = \mathrm{Orb}_{\sigma}(6) = \{ \underbracket{4}_{\sigma^{3}(4)}, \underbracket{5}_{\sigma^{2}(4)}, \underbracket{6}_{\sigma(4)}\}$