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noyau d'un morphisme de groupes.md

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+up:: [[morphisme de groupes]]
+sibling:: [[image d'un morphisme de groupes]]
+#maths/algèbre 
+
+> [!definition] Définition
+> Soit $f : G \to G'$ un [[morphisme de groupes]] de [[groupe]]
+> Le **noyau** de $f$, noté $\ker(f)$ est défini par :
+> $\ker(f) := f^{-1}(1_{G'}) = \{ x \in G \mid f(x) = 1_{G'} \}$
+^definition
+
+# Propriétés
+
+> [!proposition]+ injectivité et noyau
+> Soit $f : G \to G'$ un [[morphisme de groupes]]
+> $f \text{ injectif} \iff \ker f = \{ 1_{G} \}$
+> > [!démonstration]- Démonstration
+> > - $\implies$
+> > supposons $f$ injectif
+> > On a $\{ 1_{G} \} \subseteq \ker f$, et si $x \in \ker f$ alors $f(x) = 1_{G'} = f(1_{G})$
+> > donc $x = 1_{G}$ par injectivité
+> > On conclut que $\{ 1_{G} \} = \ker f$
+> > - $\impliedby$
+> > Supposons $\ker f = \{ 1_{G} \}$
+> > Soient $x, y \in G$ tels que $f(x) = f(y)$
+> > Ainsi :
+> >  $\begin{align} f(x) (f(y))^{-1} = 1_{G'} &\implies f(xy^{-1}) = 1_{G'} \\ &\implies xy^{-1} \in \ker f \\&\implies xy^{-1} = 1_{G} \\&\implies x = y \end{align}$
+> > De là suit que $f$ est injective
+^morphisme-injectif-noyau
+
+> [!proposition]+ le noyau est un sous groupe
+> Le noyau d'un morphisme est un [[sous groupe]] de son ensemble de départ :
+> Si $f: G \to G'$ est un morphisme, alors $\boxed{\ker f < G}$
+
+
+<!--
+> [!proposition]+ sous-groupe de $G$
+> Soit $f : G \to G'$ un [[morphisme]].
+> $\boxed{\ker f < G}$
+> $\ker f$ est un [[sous-groupe]] de $G$
+-->
+
+# Exemples
+
+> [!example] Exemple 1
+> Le morphisme $\det : GL_{n}(\mathbb{C}) \to \mathbb{C}^{\times}$
+> vérifie :
+> - $\mathrm{im}(\det) = \mathbb{C}^{\times}$
+> - $\ker(\det) = SL_{n}(\mathbb{C}) = \{ M \in GL_{n}(\mathbb{C}) \mid \det M = 1 \}$
+> 
+
+> [!example] Exemple 2
+> Le morphisme
+> $\begin{align} c : \mathbb{R}^{*} &\to \mathbb{R}^{*} \\ x &\mapsto x^{2} \end{align}$
+> vérifie :
+> - $\mathrm{im} c = \mathbb{R}_{+}^{*}$
+> - $\ker x = \{ -1; 1 \}$
+
+> [!example] Exemple 3
+> 
+>