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normes équivalentes.md

@@ -14,9 +14,51 @@ up:: [[norme]]
 
 # Propriétés
 
-> [!info] relation d'équivalence
-> la relation "$\|\cdot \|_{A}$ est équivalente à $\|\cdot\|_{B}$" est une relation d'équivalence
-- [x] #task démontrer que l'équivalence de normes est une relation d'équivalence   [startTime:: 06:15] ✅ 2024-09-30
+> [!proposition]+ Toutes les normes sont équivalentes sur $\mathbb{R}^{n}$
+> Sur $\mathbb{R}^{n}$, si $\|\cdot\|$ est une norme, alors il existe des constantes $a, b > 0$ telles que :
+> $\forall x \in \mathbb{R}^{n},\quad a\|x\|_{\infty} \leq \|x\| \leq b \|x\|_{\infty}$
+> 
+^normes-equivalentes-sur-Rn
 
-> [!info] [[espace vectoriel]] finis
+> [!proposition] relation d'équivalence
+> la relation "$\|\cdot \|_{A}$ est équivalente à $\|\cdot\|_{B}$" est une [[relation d'équivalence]]
+> > [!démonstration]- Démonstration
+> > - réflexivité
+> > Si $\|\cdot\|$ est une norme sur $E$, alors :
+> > $\forall x \in E,\quad 1\times \|x\| \leq \|x\| \leq 1\times \| x\|$
+> > Donc $\|\cdot\|$ est équivalente à elle-même
+> > - symétrie
+> > si $\|\cdot\|$ et $\|\cdot\|'$ sont deux normes sur $\mathbf{E}$, et s'il existe $a, b > 0$ tels que $\forall x \in E,\quad a \|x\| \leq \|x\|' \leq b \|x\|$
+> > Alors $\|x\| \leq \frac{1}{a} \| x\|'$ et $\frac{1}{b} \|x\|' \leq \|x\|$
+> 
+> > [!corollaire] équivalence des normes en dimension finie
+> > Si $(E, \|\cdot\|)$ est un $\mathbb{R}$-[[espace vectoriel de dimension finie]], toutes les normes sont équivalentes sur $E$ :
+> > Si $\|\cdot\|$ et $\|\cdot\|'$ sont deux normes quelconques sur $E$, alors il existe $a, b>0$ tels que $a \|x\| \leq \|x\|' \leq b \|x\|$
+> > 
+> > - ! c'est une propriété spécifique à la dimension finie
+> >   
+> > > [!démonstration]- Démonstration
+> > > Soit $m = \dim E$
+> > > On se donne $(e_1, e_2, \dots, e_{m})$ une base de $E$
+> > > On a alors un [[isomorphisme de groupes]] :
+> > > $\begin{array}{crl} f : &\mathbb{R}^{m} &\to E\\ &(x_1, \dots, x_m) & \mapsto x_1e_1 + \cdots + x_{m}e_{m} \end{array}$
+> > > Soient $\|\cdot\|$ et $\|\cdot\|'$ deux normes sur $E$
+> > > On a sur $\mathbb{R}^{m}$  la norme infini : $\|(x_1, \dots , x_{m})\|_{\infty} = \max \{ |x_1|, \dots, |x_{m}| \}$
+> > > A partir de $\|\cdot\|$ et $\|\cdot\|'$ on peut définir des normes sur $\mathbb{R}^{m}$ qu'on va noter respectivement $\|\cdot\|$ et $\|\cdot\|'$ :
+> > > $\forall x \in \mathbb{R}^{m},\quad \underbracket{\|x\|}_{\text{dans } \mathbb{R}^{m}} = \underbracket{\|f(x)\|}_{\text{dans } E}$
+> > > ainsi que :
+> > > $\forall x \in \mathbb{R}^{m},\quad \underbracket{\|x\|'}_{\text{dans } \mathbb{R}^{m}} = \underbracket{\|f(x)\|'}_{\text{dans } E}$
+> > > Alors $\|\cdot\|$ et $\|\cdot\|'$ sur $\mathbb{R}^{m}$ sont équivalentes à $\|\cdot\|_{\infty}$ (voir [[normes équivalentes#^normes-equivalentes-sur-Rn|théorème]]).
+> > > Donc, d'après le théorème précédent, $\|\cdot\|$ et $\|\cdot\|'$ sur $\mathbb{R}^{m}$ sont équivalentes entre elles.
+> > > 
+> > > Soient $a, b > 0$ tels que $\forall x \in \mathbb{R}^{m},\quad a \|x\| \leq \|x\|' \leq b\|x\|$
+> > > On a alors, comme $f$ est un isomorphisme:
+> > > $\begin{align} \forall y \in E,\quad & \|y\| = \|f^{-1}(y)\|\\ & \|y\|' = \|f^{-1}(y)\|' \end{align}$
+> > > Donc, $\forall y \in E,\quad a \|y\| \leq \|y\|' \leq b \|y\|$
+> > > Autrement dit, $\|\cdot\|$ et $\|\cdot\|'$ sont équivalentes
+> > > 
+> > > 
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+> [!proposition] [[espace vectoriel]] finis
 > Sur un [[espace vectoriel]] fini, toutes les normes sont deux-à-deux équivalentes.
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