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isomorphisme de groupes.md

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+aliases:
+  - isomorphisme de groupes
+  - isomorphisme
+---
+up:: [[morphisme de groupes]], [[isomorphisme]]
+#maths/algèbre 
+
+> [!definition] [[isomorphisme de groupes]]
+> Un _isomorphisme_ est un [[morphisme de groupes]] [[bijection|bijectif]].
+^definition
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+- i S'il existe un isomorphisme entre les groupes $A$ et $B$, on dit qu'ils sont [[groupes isomorphes|isomorphes]], et on note $A \simeq B$
+    - voir [[groupes isomorphes]]
+
+
+# Propriétés
+
+> [!proposition]+ réciproque
+> Si $f : G \to H$ est un isomophisme
+> alors $f^{-1} : H \to G$ est un isomophisme aussi
+> > [!démonstration]- Démonstration
+> > On sait déjà que $f^{-1}$ est une bijection puisque $f$ en est une.
+> > Il ne reste plus qu'a montrer que $f^{-1}$ est un morphisme. 
+> > Soient $x, y \in H$, on veut montrer que :
+> > $f^{-1}(xy) = f^{-1}(x)f^{-1}(y)$
+> > Puisque $f$ est [[bijection|bijective]], on a :
+> > $f^{-1}(xy) = f^{-1}(x)f^{-1}(y) \iff xy = f(f^{-1}(x)f^{-1}(y))$
+> > Or, $f$ est un morphisme, donc $f(f^{-1}(x)f^{-1}(y)) = f(f^{-1}(x))f(f^{-1}(y)) = xy$
+> > Donc, par équivalence, on a bien $f^{-1}(xy) = f^{-1}(x)f^{-1}(y)$, c'est-à-dire que $f^{-1}$ est bien un morphisme
+> > Comme $f^{-1}$ est un morphisme et qu'il est bijectif, c'est bien un isomorphisme.
+^isomorphisme-reciproque
+
+# Exemple
+
+Sur $(\mathbb{R},+)$, la fonction $\ln$ est un [[isomorphisme de groupes]]
+$$\begin{align}
+\ln :& (\mathbb{R}, +) \mapsto (\mathbb{R},\times)\\
+     & x \mapsto \ln(x)
+\end{align}$$
+Et la réciproque de $\ln$, $\exp$ :
+$$\begin{align}
+\exp :& (\mathbb{R}, \times) \mapsto (\mathbb{R}, +)\\
+     & x \mapsto e^x
+\end{align}$$
+Puisque $\ln$ et sa réciproque sont tous les deux des [[morphisme de groupes]].
+
+- = $\exp$ est un isomorphisme de $\mathbb{R} \to \mathbb{R}^{*}_{+}$ et aussi de $\mathbb{C} \to \mathbb{C}^{*}$