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intégrale de lebesgue.md

@@ -20,40 +20,6 @@ sibling:: [[intégrale de Riemann]]
 
 # Propriétés
 
-> [!proposition]+ Linéarité de l'intégrale
-> Sur l'[[espace mesuré]] $(E, \mathcal{A}, \mu)$
-> Si $f$ et $g$ sont deux [[fonction étagée positive|fonctions étagées positives]], et avec $\lambda \in \mathbb{R}^{+}$, on a :
-> $\boxed{\displaystyle \int _{E} (\lambda f + g) \, d\mu = \lambda \int _{E} f \, d\mu + \int _{E} g \, d\mu}$ 
-> > [!démonstration]- Démonstration
-> > On note $f = \sum\limits_{i=1}^{m} (\alpha _{i} \mathbb{1}_{A_{i}})$ et $g = \sum\limits_{i=1}^{l} (\beta _{i} \mathbb{1}_{B_{i}})$
-> > Il est clair que $\int _{E} \lambda f \, d\mu = \lambda \int _{E} f \, d\mu$ par distributivité
-> > Notons :
-> > - $(\gamma _{k})_{1 \leq k \leq p}$ les valeurs distinctes prises par $f+g$
-> > - $\displaystyle C_{k} = (f+g)^{-1}(\{ \gamma _{k} \}) = \bigcup _{(i, j) \in I_{k}} (A_{i} \cap B_{j})$
-> > où $I_{k} = \{ (i, j) \mid \alpha _{i} + \beta _{j} = \gamma _{k} \}$
-> > 
-> > $f+g = \sum\limits_{k=1}^{p} (\gamma _{k} \cdot\mathbb{1}_{C_{k}})$
-> > donc :
-> > $$\begin{align}
-> > \int _{E} (f+g) \, d\mu &= \sum\limits_{k=1}^{p} (\gamma _{k} \cdot \mu(C_{k})) \\
-> > &= \sum\limits_{k=1}^{p} \left(  \gamma _{k} \cdot \mu \underbrace{\left(  \bigcup _{(i, j) \in I_{k}} (A_{i} \cap B_{j}) \right)}_{\text{réunion 2 à 2 disjointe}}  \right) \\
-> > &= \sum\limits_{k=1}^{p} \left(  \sum\limits_{(i, j) \in I_{k}} \underbrace{(\alpha _{i} + \beta _{j})}_{ =\gamma _{k}} \cdot \mu (A_{i} \cap B_{j})  \right) \\
-> > &= \sum\limits_{k=1}^{p} \left(  \sum\limits_{(i, j) \in I_{k}} \alpha _{i} \cdot \mu(A_{i} \cap B_{j}) \right) + \sum\limits_{k=1}^{p} \left( \sum\limits_{(i, j) \in I_{k}} \beta _{j} \cdot \mu(A_{i} \cap B_{j}) \right) \\
-> > &= \sum\limits_{i=1}^{m} \left( \sum\limits_{j=1}^{l} (\alpha _{i} \cdot \mu(A_{i} \cap B_{i})) \right) + \sum\limits_{j=1}^{l} \left(  \sum\limits_{i=1}^{n} \beta _{j} \cdot \mu(A_{i} \cap B_{j})  \right)\\
-> > &= \sum\limits_{i=1} ^{n} \left(  a_{i} \cdot \mu\left( A_{i} \cap \left(  \bigcup _{j = 1} ^{l} B_{j} \right) \right) \right) + \sum\limits_{j=1}^{l} \left( \beta _{j} \cdot \mu\left(  \left( \bigcup _{i=1}^{m} A_{i} \right) \cap B_{j} \right) \right) & \text{or } \bigcup _{i=1}^{m} A_{i} = \bigcup _{j = 1}^{l} B_{i} = E \text{ donc :}\\
-> > &= \int _{E} f \, d\mu + \int _{E} g \, d\mu
-> > \end{align}$$
-> > 
-^linearite
-
-> [!proposition]+ Comparaison des fonctions
-> Sur l'[[espace mesuré]] $(E, \mathcal{A}, \mu)$
-> Si $f$ et $g$ sont deux [[fonction étagée positive|fonctions étagées positives]] telles que $0 \leq f \leq g$
-> $\displaystyle \int _{E} f \, d\mu \leq \int _{E} g \, d\mu$
-> > [!démonstration]- Démonstration
-> > Il suffit de remarque que $g - f$ est aussi une [[fonction étagée positive]], et donc, d'après la [[intégrale de lebesgue#^linearite|linéarité]] :
-> > $\displaystyle\int _{E} g \, d\mu = \int _{E} f+ (g-f) \, d\mu =  \int _{E} f \, d\mu + \underbrace{\int _{E} g - f \, d\mu}_{\in \mathbb{R}^{+}}$
-> > 
 
 > [!proposition]+ Croissance de l'intégrale
 > Si $f$ et $g$ sont des [[fonction mesurable|fonctions mesurables]] positives
@@ -68,7 +34,9 @@ sibling:: [[intégrale de Riemann]]
 > > C'est-à-dire :
 > > $\displaystyle \int _{E} f \, d\mu \leq \int _{E} g \, d\mu$
 
-![[théorème de convergence monotone#^theoreme]]
+![[théorème de convergence monotone des intégrales#^theoreme]]
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 # Exemples