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image réciproque d'un ensemble.md

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+up:: [[application réciproque]]
+#maths/ensembles 
+
+> [!definition] Définition
+> Soit $f : E \to F$ une application
+> Soit $A \subset F$ une partie de $F$
+> On note $f^{-1}(A)$ et on appelle **image réciproque de $A$ par $f$** l'ensemble des valeurs de $E$ dont l'image par $f$ est dans $A$ :
+> $\boxed{f^{-1}(A) := \{ x \in E \mid f(x) \in A \}}$
+^definition
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+# Propriétés
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+> [!proposition] morphismes sur $\cap$ et $\cup$
+> Soit $f : E \to F$
+> Soient $(A, A') \in E^{2}$ et $(B, B') \in F^{2}$
+> On a :
+> - $f^{-1}(B \cup B') = f^{-1}(B) \cup f^{-1}(B')$
+> - $f^{-1}(B \cap B') = f^{-1}(B) \cap f^{-1}(B')$
+> - $f(A \cup A') = f(A) \cup f(A')$
+> - ! $f(A \cap A') \subset f(A) \cap f(A')$
+> 
+> Fonctionne aussi sur les familles d'ensembles :
+> - $\displaystyle f^{-1}\left( \bigcup_{l \in L}B_{l} \right) = \bigcup _{l \in L} \left( f ^{-1}(B_{l}) \right)$