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groupe symétrique.md

@@ -4,14 +4,28 @@ up:: [[groupe]]
 > [!definition] groupe symétrique d'indice $n$
 > Soit $n \in \mathbb{N}^{*}$
 > Soit $\mathfrak{S}_{n}$ l'ensemble des [[bijection|bijections]] $\{ 1,\dots,n \} \to \{ 1, \dots, n \}$
-> Soit $\circ$ la [[composition de fonctions]]
-> On appelle groupe symétrique d'indice $n$ le groupe $(\mathfrak{S}_{n}, \circ)$
-> Sont élément neutre est $Id_{\{ 1,\dots,n \}}$ 
-> L'inverse de $\sigma \in \mathfrak{S}_{n}$ est la bijection [[fonction réciproque|réciproque]] $\rho$ donnée par $\forall (i, j) \in [\![1, n]\!]^{2}, \quad \rho(i) = j \iff i = \sigma(j)$
+> On appelle **groupe symétrique d'indice $n$** le groupe $(\mathfrak{S}_{n}, \circ)$
+> - Sont élément neutre est $Id_{\{ 1,\dots,n \}}$ 
+> - L'inverse de $\sigma \in \mathfrak{S}_{n}$ est la bijection [[application réciproque|réciproque]] $\rho$ donnée par $\forall (i, j) \in [\![1, n]\!]^{2}, \quad \rho(i) = j \iff i = \sigma(j)$
 ^definition
 
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 # Propriétés
 
-- Les groupes symétriques d'indice $n \leq 2$ sont commutatifs
-- Les groupes symétriques d'indice $n \geq 3$ sont non-commutatifs
+> [!proposition]+ Cardinal
+> ${\# \mathfrak{S}_{n} = n!}$
+> > [!démonstration]- Démonstration
+> > $\sigma(1)$ : $n$ choix, parmi $\{ 1, 2, \dots, n \}$
+> > $\sigma(2)$ : $n-1$ choix, parmi $\{ 1, 2, \dots n \} \setminus \{ \sigma(1) \}$
+> > $\sigma(3)$ : $n-2$ choix, parmi $\{ 1, 2, \dots n \} \setminus \{ \sigma(1), \sigma(2) \}$
+> > $\vdots$
+> > $\sigma(n-1)$ : 2 choix, parmi $\{ 1, 2, \dots, n \} \setminus \{ \sigma(1), \sigma(2), \dots, \sigma(n) \}$
+> > $\sigma(n)$ : 1 seul choix restant
+> > 
+> > D'où suit que le nombre d'éléments de $\mathfrak{S}_{n}$, qui est le nombre de manières de choisir $\sigma(1), \sigma(2), \dots , \sigma(n-1)\text{ et } \sigma(n)$ , est $n!$
+> > 
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+> [!proposition]+ Commutativité
+> - Les groupes symétriques d'indice $n \leq 2$ sont commutatifs
+> - Les groupes symétriques d'indice $n \geq 3$ sont non-commutatifs
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