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Oscar Plaisant
2024-11-01 11:45:32 +01:00
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@@ -11,7 +11,8 @@ up:: [[sous groupe engendré]]
^definition
# Propriétés
> [!proposition]+ Proposition
> [!proposition]+ Engendrement par itération de $g$
> si $G = \left\langle g \right\rangle$ est monogène, alors $G = \{ g^{n} \mid n \in \mathbb{Z} \}$
> - ! Il peut y avoir des répétitions : on peut avoir $n \neq m$ mais $g^{n} = g^{m}$
@@ -25,6 +26,31 @@ up:: [[sous groupe engendré]]
> > alors $gh = x^{a}x^{b} = x^{a+b} = x^{b+a} = x^{b}+x^{a} = hg$
> > donc $h$ et $g$ commutent, et $G$ est bien commutatif
> [!proposition]+ groupes monogènes à l'isomorphisme près
> Soi $G$ un groupe monogène
> - Si $\#G = \infty$ alors $G \simeq \mathbb{Z}$
> - Si $\#G = n \in \mathbb{N}^{*}$ alors $G \simeq \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$
> ---
> - I A isomorphisme près, il y a un unique groupe monogène d'ordre $n \in \mathbb{N}^{*} \cup \{ \infty \}$
> - = par exemple $\mu _{n}(\mathbb{C}) \simeq \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$
>
> > [!démonstration]- Démonstration
> > Soit $G$ un groupe monogène, et soit $x$ un générateur de $G$
> > - on suppose $\#G$ infini.
> > On considère alors l'application
> > $\begin{align} f: \mathbb{Z} &\to G\\ n &\mapsto x^{n} \end{align}$
> > Montrons que $f$ est un [[morphisme de groupes]] :
> > Soit $(m, n) \in \mathbb{Z}^{2}$, on a $f(n+m) = x^{n+m} = x^{n}x^{m} = f(n)f(m)$
> > Montrons que $f$ est injective :
> > Puisque $\#G$ est infini, on sait que $x$ est d'ordre infini.
> > Soient $n \leq m \in \mathbb{Z}$ et tels que $f(n) = f(m)$.
> > On a $x^{m-n} = e$. Si $n \neq m$ cela montrerait que $x$ est d'ordre fini, on doit donc avoir $n = m$.
> > De plus, $f$ est surjective par définition d'un groupe monogène.
> > Ainsi, $f$ est un morphisme injectif et surjectif, c'est-à-dire un [[isomorphisme]].
> > Autrement dit, $\mathbb{Z} \simeq G$
> >
^isomorphisme-groupes-monogenes
# Exemples
> [!example] $\mathbb{Z}$