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groupe des classes modulo n premières avec n.md

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-up:: [[groupe]]
+up:: [[groupe des classes modulo n]]
 #maths/algèbre 
 
 > [!definition] groupe des classes modulo $n$ premières avec $n$
@@ -8,15 +8,31 @@ up:: [[groupe]]
 > - il est bien [[commutativité|commutatif]]
 ^definition
 
-> [!info] Corollaire
+- $(\mathbb{Z} /n\mathbb{Z})^{\times } = \{  \overline{ k} \in \mathbb{Z} / n\mathbb{Z} \mid \exists u \in \mathbb{Z} /n\mathbb{Z}, \quad \overline{k}u = 1 \}$ [[démonstration d'une autre définition du groupe des classes modulo n premières avec n]]
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+# Propriétés
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+> [!proposition] Proposition 1
 > Si $p$ est un [[nombre premier]], alors $(\mathbb{Z} /p\mathbb{Z})^{\times } = (\mathbb{Z} / p\mathbb{Z})\setminus \{ \overline{0} \}$
 > > [!démonstration] 
 > > Tous les entiers $[\![ 1; p-1]\!]$ sont premiers avec $p$
 > > 
+^p-premier
+
+> [!proposition]+ cardinal
+> Le cardinal de $(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^{\times}$ est  $\varphi(p) = \left| \{ k \in [\![1; p]\!] \mid \mathrm{pgcd}(k, p) = 1 \} \right|$
+> C'est la [[fonction indicatrice d'Euler]] 
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+> [!proposition]+ $(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^{\times}$ pour $p$ premier
+> Si $p$ est un [[nombre premier]], alors $(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^{\times}$ est un [[groupe cyclique]]
+> > [!démonstration]- Démonstration
+> > On rappelle que $\#(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^{\times} = p-1$  (voir [[groupe des classes modulo n premières avec n#^p-premier|proposition 1]])
+> > Pour $d \mid p-1$, on note $N_{d}$ le nombre d'éléments d'ordre $d$ dans $(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^{\times}$ (l'objectif est de montrer que $N_{p-1} \geq 1$).
+> > Soit $x \in (\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^{\times}$ et soit $d$ son ordre. En particulier, on a $N_{d}\geq 1$ (puisque $x$ est d'ordre $d$). Le sous-groupe $\left< x \right>$ est de cardinal $d$.
+> > 
+
 
-# Propriétés
-- $(\mathbb{Z} /n\mathbb{Z})^{\times } = \{  \overline{ k} \in \mathbb{Z} / n\mathbb{Z} \mid \exists u \in \mathbb{Z} /n\mathbb{Z}, \quad \overline{k}u = 1 \}$ [[démonstration d'une autre définition du groupe des classes modulo n premières avec n]]
-- On note $\varphi(n) = \left| \{ k \in [\![1; n]\!] \mid \mathrm{pgcd}(k, n) = 1 \} \right|$ son cardinal. C'est la [[fonction indicatrice d'Euler]]
 
 # Exemples