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fonctions égales presque partout.md

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+up:: [[propriété vraie presque partout]]
+#maths/intégration 
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+> [!definition] Définition
+> Dans l'[[espace mesuré]] $(E, \mathcal{A}, \mu)$
+> Soient $f$ et $g$ des applications définies sur $E$
+> $f$ et $g$ sont **égales $\mu$ presque partout** si $\{ f(x) \neq g(x) \mid x \in E \}$ est négligeable
+^definition
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+# Propriétés
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+> [!proposition]+ comparaisons presque partout et intégrales
+> Dans l'[[espace mesuré]] $(E, \mathcal{A}, \mu)$
+> Soient $f$ et $g$ deux fonctions mesurables positives
+> - Si $f\leq g$  $\mu$-presque partout, alors $\displaystyle \int_{E} f \, d\mu \leq \int_{E} g \, d\mu$
+> - Si $f = g$  $\mu$-presque partout, alors $\displaystyle\int_{E} f \, d\mu = \int_{E} g \, d\mu$
+> > [!démonstration]- Démonstration
+> > $f = f\mathbb{1}_{\{ f \leq g \}} + \underbrace{f\mathbb{1}_{\{ f > g \}}}_{\substack{\text{négligeable car }\\ \mu(\{ f > g \}) = 0}}$
+> > De là suit que :
+> > $\displaystyle \int_{E} f \, d\mu \leq \int_{E} g\mathbb{1}_{f \leq g} \, d\mu + \underbrace{\int_{E} g \mathbb{1} _{\{ f > g \}}\, d\mu}_{=0}$
+> > 
+
+> [!proposition]+ intégrabilité
+> Soient $f$ et $g$ deux fonctions mesurables à valeurs dans $\mathbb{C}$
+> Si on a $f = g$  $\mu$-presque partout, alors
+> $f \text{ est intégrable} \iff g \text{ est intégrable}$
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+# Exemples
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