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fonction négligeable.md

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-sr-due: 2022-09-20
-sr-interval: 28
-sr-ease: 272
-alias: ["négligeable", "négligeabilité", "fonction négligeable"]
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-up::[[fonction]]
-sibling::[[fonction dominée en un point|domination]], [[fonctions équivalentes|équivalence]]
-title::"$f=o_{x_{0}}(g) \iff \lim\limits_{x \to x_{0}} \dfrac{f(x)}{g(x)}=0$"
-#maths/analyse 
+up:: [[propriété vraie presque partout]]
+#maths/intégration 
 
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-> [!definition] fonction négligeable
-> Soient deux fonctions $f$ et $g$, on dit que _$f$ est négligable devant $g$ en $x_0\in\overline{\mathbb{R}}$_, et on note $f=_{x_{0}}o(g)$ :
-> $\displaystyle f = o_{x_{0}}(g) \iff \lim_{x \to x_{0}} \frac{f(x)}{g(x)} = 0$
+> [!definition] Définition
+> Dans l'[[espace mesuré]] $(E, \mathcal{A}, \mu)$
+> Une application $f$ définie sur $E$ est **négligeable** si $\{ x \in E \mid f(x) \neq 0 \}$ est négligeable, c'est-à-dire si $f$ est nulle [[propriété vraie presque partout|presque partout]]
 ^definition
 
-
-> [!définition] fonction négligeable - autre définition
->  
-> $f = o_{x_{0}}(g)$ si il existe $h$ telle que :
->  - $\lim\limits_{x_{0}} h = 0$
->  - $f = hg$
-^definition-alternative
-
-> [!définition] fonction négligeable - définition formelle
-> $f = o_{x_{0}}(g) \iff \forall \varepsilon>0, \forall b \in \mathbb{R}, \forall x \in X, x \geq b \implies |f(x)| \leq \varepsilon|g(x)|$
-> [[démonstration formule négligeabilité avec epsilon|démonstration]]
-^definition-avec-epsilon
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 # Propriétés
 
- - $f = o(g) \implies f = O(g)$
-     - où $O$ désigne la [[fonction dominée en un point]]
-     
- - Si $f = o_{+\infty}(g)$ et $h = o_{+\infty}(g)$, alors $\lambda f + \mu h = o_{+\infty}(g)$ ($(\lambda, \mu) \in \mathbb{C}^{2}$)
-     - stable par [[combinaison linéaire]]
- 
- - $o(1) = \varepsilon(x)$ car $\lim \frac{o(1)}{1} = 0$ donc $\lim o(1) = 0$
+> [!proposition]+ négligeablilité et intégrabilité
+> Soit $f$ une fonction mesurable.
+> $f$ est négligeable $\iff$ $\displaystyle\int_{E} |f| \, d\mu = 0$
+> > [!démonstration]- Démonstration
+> > - Supposons $f$ négligeable et fixons $n \in \mathbb{N}^{*}$
+> > Alors $\min (|f|, n) \leq n \mathbb{1}_{\{ |f| \neq 0 \}}$
+> > Et par passage à l'intégrale :
+> > $\displaystyle \int_{E} \underbrace{\min(|f|, n)}_{g_{n}} \, d\mu \leq n \underbrace{\mu(\{ f \neq 0 \})}_{=0} = 0$
+> > On sait que la suite $(g_{n})$ définie par $g_{n} = \min(|f|, n)$ est une suite croissante de fonctions mesurables positives. Par le [[théorème de convergence monotone des intégrales|théorème de convergence monotone]], on a donc :
+> > $\displaystyle \int_{E} |f| \, d\mu = \int_{E} \lim\limits_{ n \to \infty } g_{n} \, d\mu = \lim\limits_{ n \to \infty } \int_{E} g_{n} \, d\mu = 0$
+> > 
+> > - Réciproquement, soit $n \in \mathbb{N}^{*}$
+> > $\displaystyle \mu\left( \left\{  |f|  \geq \frac{1}{n} \right\} \right) \leq n \int_{E} |f| \, d\mu = 0$
+> > $\forall n \in \mathbb{N}^{*},\quad \{ |f|  \neq 0\} \subset \left\{  |f|  \geq \frac{1}{n} \right\}$
+> > Mais $\displaystyle\{ |f| \neq 0 \} = \bigcup _{n \in \mathbb{N}^{*}} \left\{  |f| \geq \frac{1}{n}  \right\}$
+> > Donc $\mu(\{ |f| \neq 0 \}) \leq \sum\limits_{n \in \mathbb{N}^{*}} \underbrace{\mu\left( \left\{  |f| \geq \frac{1}{n}  \right\} \right)}_{= 0} \leq 0$
+> > Donc, on a bien $\mu(\{ |f| \neq 0 \}) = 0$
+
+
+# Exemples
+
+> [!example] $\mathbb{1}_{\mathbb{Q}}$
+> $\mathbb{1}_{\mathbb{Q}}$ est null $\lambda$ presque partout car $\lambda(\mathbb{Q}) = 0$ ([[mesure de Lebesgue]])
+> Mais $\mathbb{1}_{\mathbb{Q}}$ n'est pas négligeable pour $\delta_0$ : $\delta_0(\mathbb{Q}) = 1$ ([[mesure de Dirac]])
 
- - $f \sim_{x_{0}} g \iff f = g+o_{x_{0}}(g)$ ([[démonstration correspondance équivalence et domination|démonstration]])