update

fonction lipschitzienne.md

@@ -2,15 +2,26 @@ up::[[fonction]]
 title::"$\big|f(x)-f(y)\big| \leq k|x-y|$"
 #maths/analyse
 
-Soit $I \subset \mathbb{R}$ in [[intervalle]]
-Soit $f : I \mapsto \mathbb{R}$
-On dit que $f$ est **lipschitzienne** de *rapport* $k>0$ ssi
-pour tout $(x, y) \in I^{2}$ :
-$$|f(x)-f(y)| \leq k|x -y|$$
+> [!definition] [[fonction lipschitzienne]]
+> Sur un [[espace métrique]]  $(X, d)$
+> Une fonction $f : X \to \mathbb{R}$ est dite **lipschitzienne** de rapport $k > 0$ quand :
+> $$
+\boxed{|f(x) - f(y)| \leq  k \cdot d(x, y)}
+$$
+^definition
+
+> [!definition] Définition sur $\mathbb{R}$
+> Soit $I \subset \mathbb{R}$ in [[intervalle]]
+> Soit $f : I \mapsto \mathbb{R}$
+> On dit que $f$ est **lipschitzienne** de *rapport* $k>0$ ssi
+> pour tout $(x, y) \in I^{2}$ :
+> $$|f(x)-f(y)| \leq k|x -y|$$
+> 
+^definition-sur-R
 
-Une fonction lipschitzienne de *rapport* $k < 1$ est une [[fonction contractante]]
 
 # Propriétés
 
- - Toutes les fonctions de [[classe d'une fonction|classe]] $C^{1}$ sont globalement lipschitzienne
- 
+- Une fonction lipschitzienne de *rapport* $k < 1$ est une [[fonction contractante]]
+- Toutes les fonctions de [[classe d'une fonction|classe]] $C^{1}$ sont globalement lipschitzienne
+