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fonction finie presque partout.md

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+up:: [[propriété vraie presque partout]]
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+> [!definition] Définition
+> Dans l'[[espace mesuré]] $(E, \mathcal{A}, \mu)$
+> On dit que $f$ est **finie $\mu$ presque partout** si l'ensemble des point où $f$ est infinie est un [[ensemble négligeable]] pour $\mu$. Autrement dit, si :
+> $\mu(\{ |f(x)| = +\infty \mid x \in E \}) = 0$
+> Ou encore autrement :
+> $\exists N \text{ négligeable},\quad \forall x \notin N,\quad |f(x)| < +\infty$
+^definition
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+# Propriétés
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+> [!proposition]+ 
+> Soit $f : E \to \overline{\mathbb{R}}$ mesurable et telle que $\displaystyle \int_{E} |f| \, d\mu < +\infty$ (c'est-à-dire que $|f|$ est intégrable).
+> Alors $f$ est finie $\mu$ presque partout
+> 
+> > [!démonstration]- Démonstration
+> > Soit $n \in \mathbb{N}^{*}$. L'[[inégalité de Markov]] assure que :
+> > $\displaystyle \mu \{ |f| = +\infty \} \leq \mu (\{ |f| \geq n \}) \leq \underbrace{\frac{1}{n} \int_{E} |f| \, d\mu}_{\xrightarrow{n \to \infty} 0}$
+> > Donc $\mu(\{ |f| = +\infty \}) = 0$
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+# Exemples
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