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fonction continue.md

@@ -8,7 +8,6 @@ aliases:
 up::[[fonction]]
 #maths/analyse 
 
-
 > [!definition] [[fonction continue]]
 > Soient $(X, d_{x})$ et $(Y, d_{y})$ deux [[espace métrique|espaces métriques]]
 > Soit $f: X \to Y$ une [[application]]
@@ -17,6 +16,8 @@ up::[[fonction]]
 > $\exists \varepsilon>0,\quad \exists \eta>0,\quad \forall x \in X,\quad d_{x}(x, a) < \eta \implies d_{y}(f(x), f(a)) < \varepsilon$
 ^definition
 
+- i On note $\mathcal{C}(E, F)$ l'[[ensemble des fonctions continues]] de $E \to F$
+
 > [!definition] Fonction continue dans $\mathbb{R}$
 > Soit $I \subset \mathbb{R}$
 > Soit $f: I \to R$
@@ -68,6 +69,9 @@ up::[[fonction]]
 > 1. $f$ est continue
 > 2. $\forall V$ [[partie ouverte d'un espace métrique|ouvert]] de $Y,\quad f^{-1}(V)$ est ouvert dans $X$
 > 3. $\forall F$ [[partie fermée d'un espace métrique|fermé]] de $Y,\quad f^{-1}(F)$ est fermé de $X$
+> 
+> - ! $f(V)$ n'est pas nécessairement ouvert, et $f(F)$ n'est pas nécessairement fermé
+> 
 > > [!démonstration]- Démonstration
 > > - 2. $\implies$ 3.
 > > Si $F$ est un fermé de $Y$, alors :
@@ -112,36 +116,8 @@ up::[[fonction]]
 
 
 ## Sur les applications linéaires
+[[application linéaire continue]]
+
 
-> [!proposition]+ continuité des applications linéaires
-> Soient $(E, \|\cdot\|_{E})$ et $(F, \|\cdot\|_{F})$ deux [[espace vectoriel|espaces vectoriels]] normés
-> Soit $f : E \to F$ une [[application linéaire]], alors on une équivalence entre :
-> 1. $f$ est continue
-> 2. $f$ est continue en $0_{E}$
-> 3. Il existe $C \geq 0$ tel que $\forall x \in E,\quad \|f(x)\|_{F} \leq C\|x\|_{E}$
-> > [!démonstration]- Démonstration
-> > - 1. $\implies$ 2.
-> > évident : si $f$ continue en chaque point alors elle est continue, en particulier, en $0_{E}$
-> > - 2. $\implies$ 3.
-> > Prenons $\varepsilon = 1$ dans la définition de la continuité de $f$ en $0_{E}$ :
-> > $\exists \eta >0,\quad \forall x \in E,\quad d_{E}(x, 0_{E}) < \eta \implies d_{F}(f(x), f(0_{E})) <1$
-> > c'est-à-dire $\forall x \in E,\quad \|x-0_{E}\|_{E} < \eta \implies \|f(x) - f(0_{E})\|_{F} < 1$
-> > donc, finalement : $\forall x \in E,\quad \|x\|_{E}<\eta \implies \|f(x)\|_{F} < 1$
-> > Soit $x \in E \setminus \{ 0 \}$ un vecteur quelconque
-> > considérons $\tilde{x} = \frac{\eta x}{2 \|x\|_{E}}$
-> > On a $\|f(\tilde{x})\|_{F} \leq 1$
-> > autrement dit, comme $x = \frac{2}{\eta}\|x\|_{E} \cdot\tilde{x}$
-> > $f(x) = \frac{2}{\eta}\|x\|_{E} \cdot f(\tilde{x})$
-> > et donc $\|f(x)\|_{F} = \frac{2}{\eta}\|x\|_{E} \cdot \underbrace{\|f(\tilde{x})\|_{F}}_{\leq 1}$
-> > $\|f(x)\|_{F} \leq \frac{2}{\eta}\|x\|_{E}$
-> > cette inégalité reste vraie si $x = 0_{E}$
-> > D'où là propriété 3. avec $C = \frac{2}{\eta}$
-> > - 3. $\implies$ 1.
-> > Soient $a \in E$ et $\varepsilon>0$
-> > on a $\forall x \in E,\quad \|f(x) - f(a)\|_{F} \leq C \|x - a\|$
-> > Donc, si $\eta = \frac{\varepsilon}{C}$ et si $d(x, a) = \|x-a\|_{E} < \eta$
-> > $\begin{align} d(f(x), f(a)) &= \|f(x) - f(a)\|_{F} \\&\leq C \|x-a\|_{E} \\&< C\eta = C \frac{\varepsilon}{\eta} \\&< \varepsilon \end{align}$
-> > Ce qui montre que $f$ est continue en $a$ pour tout $a \in E$
-> 
 # Exemples