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ensemble des morphismes de groupes.md

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+up:: [[morphisme de groupes]]
+#maths/algèbre 
+
+> [!definition] [[ensemble des morphismes de groupes]]
+> Soient $G$ et $G'$ des [[groupe|groupes]]
+> On note $\mathrm{Hom_{Gr}}(G, G')$ ou simplement $\mathrm{Hom}(G, G')$ l'ensemble des morphismes de $G$ dans $G'$
+^definition
+
+# Propriétés
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+> [!proposition]+  morphisme trivial
+> $\mathrm{Hom}(G, G')$ contient toujours au moins le morphisme trivial :
+> $\begin{align} \mathbb{1}_{G \to G'} : G & \to G'\\ g &\mapsto 1_{G'} \end{align}$
+> > [!démonstration]- Démonstration
+> > $\mathbb{1}_{G \to G'}$ est bien un morphisme, car :
+> > $\mathbb{1}_{G \to G'}(gh) = 1 = 1*1 = \mathbb{1}_{G \to G'}(g) * \mathbb{1}_{G\to G'}(h)$
+
+> [!proposition]+ stabilité par $\circ$
+> $\mathrm{Hom} (G, G')$ est stable par $\circ$
+> [[morphisme de groupes#^composition-morphismes|démonstration]]
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+# Exemples
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