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démonstration une suite extraite d'une suite convergente converge vers la même limite.md

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+up:: [[suite extraite]]
+
+On cherche à démontrer :
+![[suite extraite#^meme-limite-suite-extraite]]
+
+> [!proposition]+ Lemme 1
+> Si $\varphi : \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ est une suite strictement croissante
+> alors $\forall n \in \mathbb{N},\quad \varphi(n) \geq n$
+> > [!démonstration]- Démonstration
+> > En effet, par récurrence sur $n \in \mathbb{N}$ :
+> > - comme $0 \in \mathbb{N}$, on sait que $\varphi(0) \in \mathbb{N}$ et donc $\varphi(0) \geq 0$
+> > - si on a montré $\varphi(n) \geq n$, on a  :
+> > $\varphi(n+1)> \varphi(n) \geq n$
+> > $\varphi(n+1) > n$
+> > c'est-à-dire $\varphi(n+1) \geq n+1$
+
+Supposons maintenant que $(x_{n})_{n}$ converge vers $\ell$.
+Soit $\varepsilon > 0$, il existe un rang $N \in \mathbb{N}$ tel que $\forall n \geq \mathbb{N},\quad d(x_{n}, \ell) < \varepsilon$
+mais si $n \geq N$, alors $\varphi(n) \geq \varphi(N) \geq N$
+donc $d(x_{\varphi(n)}, \ell) < \varepsilon$
+la suite $(x_{\varphi(n)})_{n \in \mathbb{N}}$ converge donc vers $\ell$
+