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décomposition en produit de cycles disjoints.md

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-up::[[p-cycle|cycle]], [[composition de permutations]]
+up::[[k-cycle|cycle]], [[composition de permutations]]
 #maths/algèbre 
 
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+> [!proposition]+ [[décomposition en produit de cycles disjoints]]
+> Toute permutation $\sigma \in \mathfrak{S}_{n}$ se décompose de façon **unique** (à l'ordre près) en un produit de [[k-cycle|cycles]] à [[support d'une permutation|supports]] deux-à-deux **disjoints**
+^theoreme
 
-Soit $\sigma$ une [[permutation]].
-La _décomposition en produit de cycles disjoints_ de $\sigma$ est une écriture de $\sigma$ comme un produit (une [[composition de permutations]]) de [[p-cycle|cycle]]
+> [!démonstration]- Démonstration
+> Soient $A_1,\dots, A_{r}$ les [[orbites du groupe symétrique|σ-orbites]] 
+> $A_{i} = \mathrm{Orb}_{\sigma}(k_{i}) = \{ \sigma^{k} (k_{i}) \mid k \in \mathbb{Z} \}$
+> $A_{i} \cap A_{j} = \emptyset$ si $i \neq j$
+> $\displaystyle [\![1; n]\!] = \bigsqcup_{i=1}^{r} A_{i}$
+> Pour $l \in [\![1; r ]\!]$, on définit $c_{l} \in \mathfrak{S}_{n}$ par $c_{l}(i) = \begin{cases} \sigma(i) & \text{si } i \in A_{l} \\ i & \text{si } i \notin A_{l} \end{cases}$
+> - Si $\#A_{l} = 1$ alors $c_{l} = \mathrm{id}$
+> - Si $\#A_{l} = N_{l}$
+> alors on