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application réciproque.md

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+alias: [ "réciproque" ]
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+up::[[application]]
+#maths/analyse
+
+> [!definition] Définition
+> Soit $f : E \to F$ une [[bijection]]
+> On sait qu'elle est [[injection|injective]] et [[surjection|surjective]], donc $\forall y \in F, \exists!x \in E, y = f(x)$, et on peut dire qu'il existe une [[application]] $f^{-1}$ telle que :
+> $\begin{aligned} f^{-1}: F &\rightarrow E\\ y &\mapsto x \text{ tel que } y=f(x) \end{aligned}$
+> Cette application est appelée **application réciproque**
+^definition
+
+# Propriétés
+
+- $f^{-1}$ à le même sens de variation que $f$.
+
+> [!proposition]+ [[composition de fonctions]]
+> 
+> Lorsque l'on [[composition de fonctions|compose]] $f$ et $f^{-1}$, on obtient une fonction identité :
+> 
+> $f \circ f^{-1} = \mathrm{id}_E$     $(E \rightarrow F \rightarrow E)$
+> $f^{-1}\circ f = \mathrm{id}_F$     $(F \rightarrow E \rightarrow F)$
+> 
+> - ! généralement, $f\circ f^{-1} \neq f^{-1}\circ f$, car leur [[ensemble de définition|ensembles de définition]] sont différents.
+
+# calcul de la fonction réciproque
+
+## Exemple
+$$\begin{aligned}
+f: &\mathbb{R}^+ \rightarrow \mathbb{R}^+\\
+   &x \mapsto x^2
+\end{aligned}$$
+Avec ces ensembles de départ et d'arrivée, $f$ est bien une bijection
+
+## Exemples
+Voir: [[fonction sinus]]
+Voir: [[fonction cosinus]]