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application linéaire.md

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-sr-due: 2022-09-05
-sr-interval: 15
-sr-ease: 286
-alias: ["applications linéaires", "linéaire", "linéaires"]
+aliases:
+  - applications linéaires
+  - linéaire
+  - linéaires
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 up::[[application]]
 sibling::[[combinaison linéaire]]
-title::"$f(\lambda u+v) = \lambda f(u) + f(v)$"
 #maths/algèbre
 
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-Soient $f$ une [[application]], et $E$ et $F$ deux [[espace vectoriel|espaces vectoriels]] réels,
-$f: E \mapsto F$ est _linéaire_ ssi :
-$\forall(u,v)\in E^{2}, \forall\lambda\in\mathbb{R},\;\;\; f(u+v) = f(u) + f(v) \;\;\wedge\;\; f(\lambda u) = \lambda f(u)$
-
 > [!definition] Application linéaire
 > Soient $E$ et $F$ deux $\mathbf{K}$-[[espace vectoriel|espaces vectoriels]]
 > Soit $f: E \to F$ une [[application]]
@@ -28,9 +22,9 @@ Soient $f$ une [[application]], et $E$ et $F$ deux [[espace vectoriel|espaces ve
 Une application $f: E \mapsto F$ est _linéaire_ ssi :
 $\forall (u, v)\in E^{2}, \forall\lambda\in\mathbb{R}, \quad f(\lambda u + v) = \lambda f(u) + f(v)$
 
-Une [[application]] $f$ est _linéaire_ ssi ses [[composition de fonctions|composées]] à gauche et à droite avec toute [[combinaison linéaire]] sont égales, soit si appliquer $f$ avant ou après une [[combinaison linéaire]]  des vecteurs donne le même résultat
-
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+> [!definition] autre définition
+> Soit une application $f : E \to F$
+> $f$ est linéaire si et seulement si, pour toute combinaison linéaire $C$, on a $C(f(u), f(v)) = f(C(u, v))$, autrement dit si $C\circ f = f\circ C$
 # Exemples
 
 L'application $\begin{aligned} Id: & E\mapsto E\\ & u \mapsto u \end{aligned}$ est une _application linéaire_
@@ -54,14 +48,14 @@ Soient $E$ et $F$ deux [[espace vectoriel|espaces vectoriels]] réels de dimensi
       - $\dim$ la [[dimension d'un espace vectoriel]]
       - $\ker$ le [[Noyau d'une application linéaire]]
       - $\mathrm{Im}$ l'[[image d'une application linéaire]]
-  - Lorsque $E = F$, $f$ est un [[endomorphisme]] de $E$ (un [[endomorphisme linéaire]])
+  - Lorsque $E = F$, $f$ est un [[endomorphisme d'espaces vectoriels]] de $E$ (un [[endomorphisme linéaire]])
       - alors $f$ est [[injection|injective]]
       - alors $\ker f = \{0_E\}$
       - alors $\dim\ker f = 0$
       - alors $\dim\mathrm{Im} f = \dim E$ (grâce au [[théorème du rang]])
       - alors $\mathrm{Im} f = E$
       - alors $f$ est [[surjection|surjective]]
-      - D'où : si $f$ est un [[endomorphisme]] de $E$, $f$ est une [[bijection]]
+      - D'où : si $f$ est un [[endomorphisme d'espaces vectoriels]] de $E$, $f$ est une [[bijection]]
 
 > [!smallquery]+ Sous-notes de `$= dv.el("span", "[[" + dv.current().file.name + "]]")`
 > ```breadcrumbs