eduroam-prg-og-1-29-184.net.univ-paris-diderot.fr 2026-3-23:11:26:56

anneau.md

@@ -60,7 +60,7 @@ depth: [0, 2]
 > $a^{n} - b^{n} = (a-b) \sum\limits_{k=0}^{n-1}a^{k}b^{n-1-k}$
 > > [!démonstration]- Démonstration
 > > Réécrivons le terme de droite de manière développée :
-> > $\begin{align} (a-b)\sum\limits_{k=0}^{n-1}a^{k}b^{n-1-k} &= (a-b)(a^{0}b^{n-1} + a^{1}b^{n-2} + \cdots + a^{n-2}b^{1}+a^{n-1}b^{0}) \\&= \bcancel{\color{darkred}a^{1}b^{n-1}} + \bcancel{\color{chartreuse}a^{2}b^{n-2}}+\bcancel{\color{deepskyblue} a^{3}b^{n-3}} + \cdots + \bcancel{\color{orange} a^{n-1}b^{1}} +a^{n}b^{0} \\ &\quad \,- a^{0}b^{n}-a^{1}b^{n-1}- a^{2}b^{n-2}-\cdots -a^{n-2}b^{2}-a^{n-1}b^{1} \end{align}$
+> > $\begin{align} (a-b)\sum\limits_{k=0}^{n-1}a^{k}b^{n-1-k} &= (a-b)(a^{0}b^{n-1} + a^{1}b^{n-2} + \cdots + a^{n-2}b^{1}+a^{n-1}b^{0}) \\&= \bcancel{\color{deepskyblue}a^{1}b^{n-1}} + \bcancel{\color{chartreuse}a^{2}b^{n-2}}+\bcancel{\color{#ffaaff} a^{3}b^{n-3}} + \cdots + \bcancel{\color{orange} a^{n-1}b^{1}} +a^{n}b^{0} \\ &\quad \,- a^{0}b^{n} - \bcancel{\color{deepskyblue}a^{1}b^{n-1}} \bcancel{\color{chartreuse} - a^{2}b^{n-2}}- \cdots \bcancel{\color{#aaaaff}-a^{n-2}b^{2}} \bcancel{\color{orange}-a^{n-1}b^{1}} \\&= a^{n}b^{0} - a^{0}b^{n} \\&= \boxed{a^{n} - b^{n}} \end{align}$
 > >    
 
 # Exemples