mbp-oskar.lan 2025-5-10:18:42:56

espace dual d'un espace vectoriel.md

@@ -6,7 +6,7 @@ tags: "#s/maths/algèbre"
 
 > [!definition] ensemble des formes linéaire d'un espace vectoriel
 > Soit $E$ un $\mathbf{K}$-[[espace vectoriel]]
-> On note $E^{*}$ l'ensemble des formes linéaires sur $E$
+> On note $E^{*}$ l'ensemble des [[forme linéaire|formes linéaires]] sur $E$
 > 
 > $E^{*}$ est appelé **espace dual de $E$**
 > 
@@ -16,8 +16,23 @@ tags: "#s/maths/algèbre"
 # Propriétés
 
  - $\dim E^{*} = \dim E$
-     - Evident car une forme linéaire sur $E$ est une matrice de taille $1\times \dim E$, et donc $E^{*}$ peut être assimilé à $E$ par les matrices des formes linéaires
-     - preuve : $\dim E* = \dim \left( \mathcal{L}(E, \mathbf{K}) \right) = \underbrace{\dim E \times \dim K}_{\text{taille des matrices de } E^{*}} = \dim E \times 1 = \dim E$
+
+> [!proposition]+ Dimension de l'espace dual
+> Si $E$ est de [[dimension d'un espace vectoriel|dimension]] finie
+> Alors $E^{*}$ est un [[espace vectoriel]] de même dimension que $E$ :
+> $\dim E^{*}  = \dim E$
+> - I Evident car une forme linéaire sur $E$ est une matrice de taille $1\times \dim E$, et donc $E^{*}$ peut être assimilé à $E$ par les matrices des formes linéaires
+> 
+> > [!démonstration]- Démonstration
+> > preuve : $\dim E* = \dim \left( \mathcal{L}(E, \mathbf{K}) \right) = \underbrace{\dim E \times \dim K}_{\text{taille des matrices de } E^{*}} = \dim E \times 1 = \dim E$
+> > 
+> > ---
+> > Autrement :
+> > 
+> > On sait que si $E, F$ sont des $\mathbf{K}$-[[espace vectoriel|espaces vectoriels]] de dimension finie, alors $\mathscr{L}(E, F)$ est un $\mathbf{K}$-[[espace vectoriel]] de dimension $\dim(E)\dim(F)$.
+> > Ici, $\dim(F) = 1$.
+> > Donc si $\dim(E) < +\infty$, on a :
+> > $\dim(E^{*}) = \dim(E)$
 
 > [!proposition]+ 
 > Soit $E$ un [[espace vectoriel]]
@@ -36,6 +51,10 @@ tags: "#s/maths/algèbre"
 > Donc :
 > $\displaystyle \varphi\left( e_{j} = \sum\limits_{i = 1}^{n} \lambda _{i}\underbrace{e_{i}^{*}(e_{j})}_{\substack{0 \text{ si } i \neq j\\ 1 \text{ si } i = j }} \right)$
 
+> [!proposition]+ Propriétés des formes linéaires
+> Soit $\varphi \in E^{*}$
+> Alors $\varphi \neq 0$ si et seulement si $\varphi$ est [[surjection|surjective]]
+> Si $\dim (E)  = n< +\infty$ alors $\varphi \neq 0 \iff \dim(\ker(\varphi)) = n-1$
 
 # Exemples